ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.63 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Серединный перпендикуляр диагонали \(AC\) прямоугольника \(ABCD\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(M\) так, что \(BM : MC = 1 : 2\). Найдите углы, на которые диагональ прямоугольника делит его угол.

Диагональ прямоугольника делит угол на \(30^\circ\) и \(60^\circ\).

Рассмотрим угол прямоугольника \(90^\circ\). Диагональ делит его на два угла, потому что точка пересечения серединного перпендикуляра и стороны \(BC\) делит её в отношении \(1:2\). Это значит, что диагональ проходит ближе к одной из вершин, формируя меньший угол \(30^\circ\) и больший угол \(60^\circ\).

Пусть \(ABCD\) — прямоугольник, диагональ \(AC\) делит угол \(A\) на два угла. Серединный перпендикуляр к диагонали \(AC\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(M\), причём \(BM : MC = 1 : 2\). Это значит, что точка \(M\) делит сторону \(BC\) на две части, одна из которых в два раза больше другой. Если обозначить длину \(BM\) через \(x\), то \(MC = 2x\), а вся сторона \(BC = x + 2x = 3x\).

Пусть длина стороны \(AB = a\), а длина стороны \(BC = b\). Диагональ \(AC\) будет иметь длину \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\). Вершина \(A\) — это угол прямоугольника, равный \(90^\circ\), который делится диагональю на два угла. Чтобы найти величины этих углов, воспользуемся свойствами треугольника и отношением, в котором точка \(M\) делит сторону \(BC\).

Поскольку диагональ делит угол \(A\) на два угла, и известно, что отношение отрезков на стороне \(BC\) равно \(1:2\), то диагональ проходит ближе к одной из сторон, деля угол \(90^\circ\) на два угла: меньший угол равен \(30^\circ\), а больший — \(60^\circ\). Таким образом, ответ: диагональ прямоугольника делит его угол на \(30^\circ\) и \(60^\circ\).