ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.64 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Вычислите площадь ромба, одна из диагоналей которого равна 16 см, а сторона — 10 см.

1. \( AO = OC = \frac{16}{2} = 8 \) см

2. \( AB^2 = AO^2 + OB^2 \), где \( AB = 10 \) см, \( AO = 8 \) см:

\( OB^2 = AB^2 — AO^2 = 10^2 — 8^2 = 100 — 64 = 36 \)

\( OB = \sqrt{36} = 6 \) см, значит \( BD = 2 \times 6 = 12 \) см

3. \( S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 16 \times 12 = 96 \) см\(^2\)

1. Рассмотрим сначала равенство \( AO = OC = \frac{16}{2} = 8 \) см. Здесь \( AO \) и \( OC \) — это отрезки, на которые точка \( O \) делит диагональ \( AC \) ромба или другого параллелограмма. Диагональ \( AC \) равна 16 см, и точка \( O \) является её серединой, поэтому она делит диагональ на две равные части. Это свойство диагоналей параллелограмма, а в случае ромба диагонали пересекаются и делятся пополам. Таким образом, длина каждого отрезка \( AO \) и \( OC \) равна половине длины диагонали \( AC \), то есть 8 см.

2. Далее используем теорему Пифагора для вычисления длины отрезка \( OB \). Из условия известно, что \( AB = 10 \) см, а \( AO = 8 \) см. Треугольник \( AOB \) является прямоугольным, где \( AB \) — гипотенуза, а \( AO \) и \( OB \) — катеты. По теореме Пифагора: \( AB^2 = AO^2 + OB^2 \). Подставляем известные значения: \( 10^2 = 8^2 + OB^2 \), откуда \( OB^2 = 100 — 64 = 36 \). Извлекаем корень: \( OB = \sqrt{36} = 6 \) см. Поскольку точка \( O \) — середина диагонали \( BD \), длина диагонали \( BD \) равна \( 2 \times OB = 12 \) см.

3. Теперь найдем площадь фигуры, используя формулу площади ромба или параллелограмма через диагонали: \( S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \), где \( d_1 = 16 \) см, \( d_2 = 12 \) см. Подставляем значения: \( S = \frac{1}{2} \times 16 \times 12 = 8 \times 12 = 96 \) см\(^2\). Эта формула основывается на том, что площадь параллелограмма с диагоналями \( d_1 \) и \( d_2 \), пересекающимися под прямым углом, равна половине произведения этих диагоналей. В данном случае диагонали перпендикулярны, что характерно для ромба, поэтому вычисление площади корректно.