ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.65 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Вычислите площадь ромба, одна из диагоналей которого равна 16 см, а сторона — 10 см.

В ромбе углы при пересечении диагоналей равны \(\alpha/2\), а половина большой диагонали равна \(c/2\).

В треугольнике с углом \(\alpha/2\) и противолежащей стороной \(c/2\) по формуле синусов найдём сторону ромба \(a\):

\(a = \frac{c/2}{\sin(\alpha/2)} = \frac{c}{2 \sin(\alpha/2)}\).

Периметр ромба равен \(4a\):

\(P = 4 \cdot \frac{c}{2 \sin(\alpha/2)} = \frac{2c}{\sin(\alpha/2)}\).

Ромб — это четырёхугольник, у которого все стороны равны. В данной задаче дана большая диагональ ромба, равная \(c\), и тупой угол ромба \(\alpha\). Для нахождения периметра нужно определить длину стороны ромба, а затем умножить её на 4.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят ромб на четыре прямоугольных треугольника. Угол между диагоналями равен \(180^\circ — \alpha\), значит каждый из углов при пересечении диагоналей равен \(\frac{\alpha}{2}\). Половина большой диагонали равна \(\frac{c}{2}\). Рассмотрим один из прямоугольных треугольников с углом \(\frac{\alpha}{2}\) и гипотенузой — стороной ромба \(a\).

Используя определение синуса в треугольнике, получаем: \(\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{\frac{c}{2}}{a}\). Отсюда выражаем сторону ромба: \(a = \frac{\frac{c}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{c}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\).

Периметр ромба — это сумма всех его сторон, то есть \(P = 4a\). Подставляя найденное значение стороны, получаем: \(P = 4 \cdot \frac{c}{2 \sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{2c}{\sin \frac{\alpha}{2}}\). Таким образом, периметр ромба выражается через большую диагональ и половину тупого угла.