ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.66 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей ромба на его сторону, делит её на два отрезка, один из которых на 5 см больше другого. Найдите периметр ромба, если длина этого перпендикуляра равна 6 см.

Пусть меньший отрезок равен \(x\), тогда больший — \(x + 5\).

Перпендикуляр \(h = 6\) см, по условию:
\(36 = x^2 + 5x\).

Составляем уравнение:
\(x^2 + 5x — 36 = 0\).

Дискриминант:
\(D = 5^2 + 4 \cdot 36 = 25 + 144 = 169 = 13^2\).

Корень:
\(x = \frac{-5 + 13}{2} = 4\) см.

Длина стороны ромба:
\(CD = 4 + 4 + 5 = 13\) см.

Периметр ромба:
\(P = 4 \cdot 13 = 52\) см.

Перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей ромба на его сторону, делит эту сторону на два отрезка. Пусть меньший из этих отрезков равен \(x\) сантиметров, тогда больший будет равен \(x + 5\) сантиметров, так как по условию один отрезок на 5 см длиннее другого. Длина перпендикуляра равна 6 см, и по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного перпендикуляром и отрезками стороны ромба, можно записать уравнение: \(36 = x^2 + 5x\). Это уравнение связывает длину перпендикуляра с длинами отрезков стороны ромба.

Далее необходимо решить квадратное уравнение \(x^2 + 5x — 36 = 0\). Для этого вычислим дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 5\), \(c = -36\). Получаем \(D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169\). Поскольку дискриминант положительный и является квадратом числа 13, уравнение имеет два действительных корня. Найдем корень, подходящий по смыслу задачи: \(x = \frac{-5 + 13}{2} = 4\) сантиметра (отрицательный корень не подходит, так как длина не может быть отрицательной).

Теперь, зная \(x = 4\), найдем длину стороны ромба. Она равна сумме двух отрезков и перпендикуляра: \(CD = 4 + 4 + 5 = 13\) сантиметров. Периметр ромба — это сумма всех четырёх сторон, то есть \(P = 4 \cdot 13 = 52\) сантиметра. Таким образом, периметр ромба равен 52 см.