ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.67 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей ромба на его сторону, делит её на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите большую диагональ ромба.

Перпендикуляр из точки пересечения диагоналей делит сторону ромба на 3 и 12 см, значит сторона равна \(3 + 12 = 15\) см. Пусть перпендикуляр опущен из точки \(O\) на сторону \(AB\), где \(AP = 3\), \(PB = 12\), \(OP = h\).

Координаты: \(A = (0,0)\), \(B = (15,0)\), \(O = (3,h)\).

Векторы \(AO = (3,h)\), \(BO = (-12,h)\). Диагонали ромба перпендикулярны, значит \(AO \cdot BO = 0\).

Раскроем скалярное произведение: \(3 \cdot (-12) + h \cdot h = -36 + h^2 = 0\), откуда \(h^2 = 36\), \(h = 6\).

Длины половин диагоналей: \(AO = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = 3\sqrt{5}\), \(BO = \sqrt{12^2 + 6^2} = \sqrt{144 + 36} = 6\sqrt{5}\).

Большая диагональ равна \(2 \cdot BO = 12\sqrt{5}\) см.

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и точка пересечения делит каждую диагональ пополам. Перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей на сторону ромба, делит эту сторону на два отрезка длиной 3 см и 12 см. Следовательно, длина стороны ромба равна сумме этих отрезков, то есть \(3 + 12 = 15\) см. Обозначим сторону ромба за \(AB\), а точку основания перпендикуляра за \(P\), тогда \(AP = 3\) см и \(PB = 12\) см.

Рассмотрим координатную систему, в которой сторона \(AB\) лежит на оси \(x\), так что \(A = (0,0)\), а \(B = (15,0)\). Точка \(P\), на которую опущен перпендикуляр из точки пересечения диагоналей \(O\), имеет координаты \(P = (3,0)\). Поскольку перпендикуляр опущен из \(O\) на \(AB\), координаты точки \(O\) будут \(O = (3,h)\), где \(h\) — высота перпендикуляра, которую нужно найти.

Векторы \(AO\) и \(BO\) равны \(AO = (3,h)\) и \(BO = (-12,h)\) соответственно. Поскольку диагонали ромба взаимно перпендикулярны, скалярное произведение векторов \(AO\) и \(BO\) равно нулю: \(AO \cdot BO = 0\). Вычислим скалярное произведение: \(3 \cdot (-12) + h \cdot h = -36 + h^2 = 0\), откуда следует, что \(h^2 = 36\), а значит \(h = 6\).

Теперь найдём длины половин диагоналей. Длина вектора \(AO\) равна \(\sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = 3\sqrt{5}\), а длина вектора \(BO\) равна \(\sqrt{(-12)^2 + 6^2} = \sqrt{144 + 36} = 6\sqrt{5}\). Поскольку точка \(O\) является серединой диагоналей, длины диагоналей равны \(D = 2 \cdot AO = 6\sqrt{5}\) и \(d = 2 \cdot BO = 12\sqrt{5}\). Большая диагональ ромба равна \(12\sqrt{5}\) см.