ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.70 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Боковая сторона равнобокой трапеции, описанной около окружности, равна \(a\), а один из углов — 60°. Найдите площадь трапеции.

Равнобокая трапеция описана около окружности, значит сумма оснований равна сумме боковых сторон: \(b + c = 2a\).

Высота трапеции равна \(h = a \sin 60^\circ = a \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Площадь трапеции \(S = \frac{b+c}{2} \cdot h = \frac{2a}{2} \cdot a \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2}\).

Равнобокая трапеция, описанная около окружности, обладает важным свойством: сумма её оснований равна сумме боковых сторон. Обозначим боковую сторону через \(a\), тогда сумма оснований \(b + c\) равна \(2a\). Это следует из условия касания окружности к четырём сторонам трапеции, что накладывает равенство суммы противоположных сторон.

Для вычисления площади трапеции нужно знать её высоту. Высота — это перпендикуляр, опущенный из верхнего основания на нижнее, и она связана с боковой стороной и углом при основании. Угол при основании равен 60°, поэтому высоту можно выразить через боковую сторону \(a\) и синус этого угла: \(h = a \sin 60^\circ\). Подставляя значение синуса 60°, получаем \(h = a \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Площадь трапеции вычисляется по формуле \(S = \frac{b+c}{2} \cdot h\). Подставляя \(b+c = 2a\) и \(h = a \frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем \(S = \frac{2a}{2} \cdot a \frac{\sqrt{3}}{2} = a \cdot a \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}\). Таким образом, площадь равна \(\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}\).