ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.71 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 16 см, а острый угол — 30°. Найдите площадь этой трапеции, если в неё можно вписать окружность.

1. Высота \( CH = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8 \) (см).

2. Сумма оснований \( BC + AD = BH + HD = 8 + 16 = 24 \) (см).

3. Площадь \( S = \frac{BC + AD}{2} \cdot CH = \frac{24}{2} \cdot 8 = 96 \) (см²).

Для начала определим высоту трапеции. Из условия известно, что большая боковая сторона равна 16 см, а острый угол при основании равен 30°. Рассмотрим треугольник, образованный высотой \( CH \), боковой стороной и основанием. Поскольку угол при основании 30°, высота \( CH \) будет равна половине длины боковой стороны, то есть \( CH = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8 \) см. Это связано с тем, что в прямоугольном треугольнике с углом 30° противолежащий катет равен половине гипотенузы.

Далее, поскольку в трапецию можно вписать окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон. Из условия и рисунка видно, что один из оснований равен \( BC = 8 \) см (так как \( BH = CH = 8 \)), а другой \( AD = 16 \) см (большая боковая сторона). Следовательно, сумма оснований равна \( BC + AD = 8 + 16 = 24 \) см. Это важное свойство трапеции с вписанной окружностью — сумма оснований равна сумме боковых сторон.

Теперь можно найти площадь трапеции по формуле: \( S = \frac{BC + AD}{2} \cdot CH \). Подставляем значения: \( S = \frac{24}{2} \cdot 8 = 12 \cdot 8 = 96 \) см². Таким образом, площадь трапеции равна 96 квадратных сантиметров.