ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.72 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиус окружности, вписанной в равнобокую трапецию, равен \(R\), а один из углов трапеции — 45°. Найдите площадь трапеции.

Пусть \(a\) и \(b\) — основания трапеции, \(h\) — высота.

Площадь трапеции вычисляется по формуле \(S = \frac{a + b}{2} \cdot h\).

Высота равна \(h = 4 R^2 \sqrt{2}\).

Тогда площадь равна \(S = \frac{a + b}{2} \cdot 4 R^2 \sqrt{2}\).

Площадь равнобокой трапеции вычисляется по формуле \(S = \frac{a + b}{2} \cdot h\), где \(a\) и \(b\) — основания, а \(h\) — высота. Эта формула отражает то, что площадь трапеции равна произведению средней линии \(\frac{a + b}{2}\) на высоту \(h\), что является классическим способом нахождения площади трапеции.

Высота \(h\) в данной задаче выражается через радиус вписанной окружности \(R\) и угол \(45^\circ\). Из геометрических свойств равнобокой трапеции с вписанной окружностью и углом \(45^\circ\) следует, что высота равна \(h = 4 R^2 \sqrt{2}\). Это выражение получается из анализа треугольников, образованных боковыми сторонами и высотой, а также соотношений, связывающих радиус вписанной окружности с размерами трапеции.

Подставляя найденное значение высоты в формулу площади, получаем \(S = \frac{a + b}{2} \cdot 4 R^2 \sqrt{2}\). Таким образом, площадь трапеции зависит от суммы оснований и квадрата радиуса вписанной окружности, умноженного на константу \(4 \sqrt{2}\). Это окончательное выражение позволяет найти площадь, зная только радиус вписанной окружности и длины оснований.