ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.74 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основания равнобокой трапеции равны 15 см и 33 см, а диагональ делит её острый угол пополам. Найдите площадь трапеции.

1. Найдём высоту \( AH \):

\( AH = \frac{33 — 15}{2} = \frac{18}{2} = 9 \) (см)

2. Найдём длину отрезка \( BH \) в треугольнике \( ABH \):

\( BH = \sqrt{15^2 — 9^2} = \sqrt{225 — 81} = \sqrt{144} = 12 \) (см)

3. Найдём площадь трапеции:

\( S = \frac{15 + 33}{2} \times 12 = 24 \times 12 = 288 \) (см²)

Для начала рассмотрим равнобокую трапецию с основаниями 15 см и 33 см. Из условия известно, что диагональ делит острый угол пополам. Это значит, что высота трапеции может быть найдена через разность оснований, поделённую на 2. Высота \( AH \) равна половине разности длин оснований, то есть \( AH = \frac{33 — 15}{2} \). Вычисляем: \( \frac{18}{2} = 9 \) см. Эта высота — перпендикуляр, опущенный из вершины трапеции на основание.

Далее рассмотрим треугольник \( ABH \), где \( AB = 15 \) см — боковая сторона трапеции, а \( AH = 9 \) см — высота, которую мы только что нашли. Чтобы найти длину отрезка \( BH \), применяем теорему Пифагора: \( BH = \sqrt{AB^2 — AH^2} \). Подставляем числа: \( BH = \sqrt{15^2 — 9^2} = \sqrt{225 — 81} = \sqrt{144} = 12 \) см. Таким образом, длина основания \( BH \) равна 12 см.

Теперь можно найти площадь трапеции. Формула площади трапеции: \( S = \frac{a + b}{2} \times h \), где \( a \) и \( b \) — основания, а \( h \) — высота. Подставляем значения: \( S = \frac{15 + 33}{2} \times 12 = \frac{48}{2} \times 12 = 24 \times 12 = 288 \) см². Получаем площадь равнобокой трапеции равной 288 квадратных сантиметров.