ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.78 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Окружность, вписанная в равнобокую трапецию, делит точкой касания боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 18 см. Найдите площадь трапеции.

Окружность, вписанная в равнобокую трапецию, делит боковую сторону на отрезки 8 см и 18 см.

Тогда основания трапеции равны \(BC = 8 + 8 = 16\) и \(AD = 18 + 18 = 36\).

Площадь трапеции вычисляем по формуле \(S = \frac{BC + AD}{2} \times h\), где высота \(h = 24\).

Подставляем значения: \(S = \frac{16 + 36}{2} \times 24 = \frac{52}{2} \times 24 = 26 \times 24 = 624\) см².

Равнобокая трапеция имеет боковые стороны, на которых вписанная окружность касается в точках, делящих эти стороны на отрезки длиной 8 см и 18 см. Из свойства касательных к окружности из одной точки длины касательных равны, значит, меньшие отрезки на боковых сторонах равны между собой, так же и большие — равны. Следовательно, нижнее основание трапеции равно сумме двух меньших отрезков: \(BC = 8 + 8 = 16\) см, а верхнее основание равно сумме двух больших отрезков: \(AD = 18 + 18 = 36\) см.

Для нахождения площади трапеции нужна высота. В условии дано, что высота равна 24 см. Площадь трапеции вычисляется по формуле \(S = \frac{BC + AD}{2} \times h\), где \(BC\) и \(AD\) — основания, а \(h\) — высота. Подставляя известные значения, получаем \(S = \frac{16 + 36}{2} \times 24\). Сначала складываем основания: \(16 + 36 = 52\), затем делим сумму на 2: \(\frac{52}{2} = 26\).

Далее умножаем полученное среднее основание на высоту: \(26 \times 24 = 624\). Таким образом, площадь равнобокой трапеции равна 624 см². Это решение использует свойства касательных, равенство отрезков на боковых сторонах и стандартную формулу площади трапеции.