ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.81 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Центр окружности, описанной около трапеции, принадлежит большему основанию, а боковая сторона равна меньшему основанию. Найдите углы трапеции.

Пусть трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AB\) и \(CD\), где \(AB > CD\). Центр описанной окружности \(O\) лежит на большем основании \(AB\), а боковая сторона \(AD\) равна меньшему основанию \(CD\).

Так как трапеция вписана в окружность, сумма углов при основаниях равна \(180^\circ\):
\[
\angle A + \angle D = 180^\circ, \quad \angle B + \angle C = 180^\circ.
\]

Из условия \(AD = CD\), значит треугольник \(ADC\) равнобедренный с основанием \(AC\).

Центр окружности лежит на \(AB\), значит \(O\) — середина дуги \(CD\), и угол при \(C\) равен \(60^\circ\), а угол при \(D\) — \(120^\circ\).

Таким образом, углы трапеции равны:
\[
60^\circ, \quad 120^\circ, \quad 60^\circ, \quad 120^\circ.
\]

Рассмотрим трапецию \(ABCD\), где \(AB\) и \(CD\) — основания, при этом \(AB\) — большее основание. Из условия известно, что центр описанной окружности \(O\) лежит на большем основании \(AB\), а боковая сторона \(AD\) равна меньшему основанию \(CD\). Поскольку трапеция вписана в окружность, она является вписанной четырехугольником, и сумма противоположных углов равна \(180^\circ\). Значит, \(\angle A + \angle D = 180^\circ\) и \(\angle B + \angle C = 180^\circ\).

Пусть \(O\) — центр окружности, описанной около трапеции, и он лежит на отрезке \(AB\). Центр окружности — точка, равноудалённая от всех вершин трапеции. Это значит, что расстояния \(OA = OB = OC = OD\). Поскольку \(O\) лежит на \(AB\), то \(OA = OB\), и \(O\) — середина дуги \(CD\), не содержащей точек \(A\) и \(B\). Следовательно, дуга \(CD\) равна \(180^\circ\), а углы при вершинах \(C\) и \(D\), опирающиеся на эту дугу, связаны с центральным углом.

Из условия, что боковая сторона \(AD\) равна меньшему основанию \(CD\), треугольник \(ADC\) равнобедренный с основаниями \(AD = CD\). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть \(\angle ADC = \alpha\), тогда \(\angle DAC = \alpha\). Угол при вершине \(C\) равен \(180^\circ — 2\alpha\).

Поскольку сумма углов трапеции \(ABCD\) равна \(360^\circ\), и противоположные углы в вписанном четырехугольнике в сумме дают \(180^\circ\), получаем, что \(\angle A = 180^\circ — \angle D\), а \(\angle B = 180^\circ — \angle C\). Из геометрических соотношений и равенства сторон следует, что \(\alpha = 60^\circ\). Тогда углы при вершинах \(C\) и \(D\) равны \(60^\circ\) и \(120^\circ\) соответственно. Соответственно, углы при вершинах \(A\) и \(B\) равны \(120^\circ\) и \(60^\circ\).

Итог: углы трапеции равны \(60^\circ\) и \(120^\circ\) попарно, то есть \(\angle A = 120^\circ\), \(\angle B = 60^\circ\), \(\angle C = 60^\circ\), \(\angle D = 120^\circ\).