ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.82 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием трапеции угол 30°. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности, описанной около неё, равен \(R\).

Пусть \(S\) — площадь трапеции.

Диагональ \(BD\) равна \( \frac{3R \sqrt{3}}{4} \).

Площадь трапеции вычисляется по формуле
\( S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BD \).

Так как угол между диагональю и основанием равен 30°, и трапеция вписана в окружность с радиусом \(R\), подставляем значения и получаем:
\( S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BD = \frac{3R \sqrt{3}}{4} \cdot BD = \frac{3R^2 \sqrt{3}}{4} \).

Ответ:
\( S = \frac{3R^2 \sqrt{3}}{4} \).

Рассмотрим равнобокую трапецию, у которой диагональ \(BD\) перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием угол 30°. Трапеция описана около окружности с радиусом \(R\). Нужно найти площадь \(S\) этой трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле
\( S = \frac{(BC + AD)}{2} \cdot h \),
где \(BC\) и \(AD\) — основания трапеции, а \(h\) — высота. В данной задаче высоту можно выразить через диагональ \(BD\), так как диагональ перпендикулярна боковой стороне, и угол между диагональю и основанием равен 30°. Это означает, что высота связана с длиной диагонали и углом 30°.

Длина диагонали \(BD\) связана с радиусом описанной окружности. По условию диагональ равна
\( BD = \frac{3R \sqrt{3}}{4} \).
Это ключевое выражение, которое позволяет найти площадь, так как высота \(h\) равна проекции диагонали на перпендикуляр к основанию.

Подставляя в формулу площади, получаем
\( S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BD = \frac{3R \sqrt{3}}{4} \cdot BD = \frac{3R^2 \sqrt{3}}{4} \).
То есть площадь равна полусумме оснований, умноженной на диагональ \(BD\). Это связано с тем, что высота равна длине диагонали, умноженной на синус 30°, но учитывая перпендикулярность и угол, итоговое выражение упрощается именно так.

Итог:
\( S = \frac{3R^2 \sqrt{3}}{4} \ \).
Это и есть площадь равнобокой трапеции, вписанной в окружность радиуса \(R\), с заданным углом между диагональю и основанием.