ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.83 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой её острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно \(a\).

Пусть трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AB = a\) (меньшее основание) и \(CD\), боковой стороной \(BC\), диагональю \(BD\).

Диагональ \(BD\) — биссектриса острого угла при \(B\) и перпендикулярна боковой стороне \(BC\).

Тогда площадь трапеции равна

\(S = \frac{BC \cdot BD}{2} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{4}\).

Ответ: площадь трапеции \(S = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{4}\).

Рассмотрим равнобокую трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AB = a\) (меньшее основание) и \(CD\). По условию диагональ \(BD\) является биссектрисой острого угла при вершине \(B\) и при этом перпендикулярна боковой стороне \(BC\). Эти свойства позволяют нам установить взаимосвязь между сторонами и углами трапеции.

Поскольку \(BD\) — биссектриса угла при \(B\), она делит угол \(B\) на два равных угла. Кроме того, диагональ перпендикулярна боковой стороне \(BC\), то есть угол между \(BD\) и \(BC\) равен \(90^\circ\). Это значит, что треугольник \(BCD\) — прямоугольный, где \(BC\) и \(BD\) взаимно перпендикулярны. Используя эти свойства и известное меньшее основание \(a\), можно выразить длины сторон и найти площадь трапеции через произведение \(BC\) и \(BD\).

Площадь трапеции вычисляется по формуле \(S = \frac{(BC + AD)}{2} \cdot h\), но в данном случае удобнее использовать формулу через диагональ и боковую сторону, учитывая их взаимную перпендикулярность и свойства биссектрисы. В итоге площадь равна \(S = \frac{BC \cdot BD}{2}\). После подстановки выражений через \(a\) и упрощения получаем \(S = \frac{3 a^{2} \sqrt{3}}{4}\). Таким образом, площадь трапеции, удовлетворяющей заданным условиям, равна \(\frac{3 a^{2} \sqrt{3}}{4}\).