ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.84 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Боковые стороны и меньшее основание равнобокой трапеции равны 10 см, а один из её углов равен 60°. Найдите радиус окружности, описанной около данной трапеции.

В треугольнике \( \triangle CHD \):

\(\sin 60^\circ = \frac{CH}{CD} \Rightarrow CH = 5\sqrt{3} \, \text{см}\)

\(\cos 60^\circ = \frac{HD}{CD} \Rightarrow HD = 5 \, \text{см}\)

Длина \(AD = 10 + 5 = 15 \, \text{см}\).

Диагональ \(CE = \sqrt{225 + 75} = 10\sqrt{3} \, \text{см}\).

Радиус описанной окружности:

\( R = \frac{CE}{2 \sin D} = \frac{10 \sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = 10 \, \text{см}\).

Рассмотрим треугольник \( \triangle CHD \), который образован высотой \(CH\), основанием \(HD\) и боковой стороной \(CD\) равной 10 см. Из условия известно, что угол при вершине \(C\) равен 60°. Используем тригонометрические функции для нахождения высоты и основания этого треугольника. Так как \( \sin 60^\circ = \frac{CH}{CD} \), то высота \(CH\) равна \(CH = CD \cdot \sin 60^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3}\) см. Аналогично, используя косинус, \( \cos 60^\circ = \frac{HD}{CD} \), получаем \(HD = CD \cdot \cos 60^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5\) см.

Далее, длина основания \(AD\) равна сумме меньшего основания \(AB = 10\) см и отрезка \(HD = 5\) см, то есть \(AD = 10 + 5 = 15\) см. Теперь найдём диагональ \(CE\). По теореме Пифагора для треугольника с катетами 15 см и 5√3 см диагональ \(CE\) равна \(CE = \sqrt{15^2 + (5 \sqrt{3})^2} = \sqrt{225 + 75} = \sqrt{300} = 10 \sqrt{3}\) см.

Для нахождения радиуса описанной окружности \(R\) используем формулу \(R = \frac{CE}{2 \sin D}\), где угол \(D = 60^\circ\). Подставляем значения: \(R = \frac{10 \sqrt{3}}{2 \cdot \sin 60^\circ} = \frac{10 \sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = 10\) см. Таким образом, радиус описанной окружности равен 10 см.