ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.87 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Чему равен угол \(BAD\) четырёхугольника \(ABCD\), вписанного в окружность, если \(\angle ACD = 37^\circ\), \(\angle ADB = 43^\circ\)?

Угол \(BAD\) в вписанном четырёхугольнике равен разности углов \(ACD\) и \(ADB\), если они опираются на разные дуги, или сумме, если на одну.

Дано: \(\angle ACD = 37^\circ\), \(\angle ADB = 43^\circ\).

Поскольку \(BAD\) — угол, опирающийся на дугу, противоположную дугам, на которые опираются углы \(ACD\) и \(ADB\), то

\(\angle BAD = 180^\circ — (\angle ACD + \angle ADB) = 180^\circ — (37^\circ + 43^\circ)=\)
\( = 100^\circ\).

Ответ: \(\angle BAD = 100^\circ\).

Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность, значит все его вершины лежат на окружности. По свойству вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна \(180^\circ\). Это значит, что сумма углов \(BAD\) и \(BCD\) равна \(180^\circ\), а также сумма углов \(ABC\) и \(ADC\) равна \(180^\circ\).

В условии даны углы \(\angle ACD = 37^\circ\) и \(\angle ADB = 43^\circ\). Угол \(ACD\) — это угол при вершине \(C\), а угол \(ADB\) — угол при вершине \(D\). Эти углы опираются на дуги окружности, которые вместе образуют дугу, противоположную углу \(BAD\). Вписанный угол равен половине меры дуги, на которую он опирается. Следовательно, сумма углов \(\angle ACD\) и \(\angle ADB\) равна половине дуги, противоположной углу \(BAD\).

Поскольку полный круг равен \(360^\circ\), а сумма дуг, на которые опираются углы \(ACD\) и \(ADB\), вместе с дугой, на которую опирается угол \(BAD\), составляет весь круг, то угол \(BAD\) равен \(180^\circ\) минус сумма углов \(\angle ACD\) и \(\angle ADB\). То есть:

\(\angle BAD = 180^\circ — (\angle ACD + \angle ADB) = 180^\circ — (37^\circ + 43^\circ) =\)
\(= 180^\circ — 80^\circ = 100^\circ\).

Ответ: \(\angle BAD = 100^\circ\).