ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.89 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Центр окружности, описанной около четырёхугольника \(ABCD\), принадлежит его стороне \(AD\). Найдите углы данного четырёхугольника, если \(\angle ACB = 30^\circ\), \(\angle CBD= 20^\circ\).

Угол \( \angle ACB = 30^\circ \) и угол \( \angle CBD = 20^\circ \).

Пусть центр описанной окружности \(O\) лежит на стороне \(AD\). Тогда \(O\) — середина \(AD\), так как центр окружности, описанной около четырёхугольника, лежит на стороне, значит эта сторона является диаметром окружности.

По теореме о вписанном угле угол, опирающийся на диаметр, равен \(90^\circ\).

Следовательно, углы \( \angle ABC = 90^\circ \) и \( \angle BCD = 90^\circ \).

Из условия и построения:

\( \angle BAD = 60^\circ \), \( \angle ABC = 110^\circ \), \( \angle BCD = 120^\circ \), \( \angle CDA = 70^\circ \).

Центр описанной окружности четырёхугольника \(ABCD\) лежит на стороне \(AD\). Это значит, что \(AD\) — диаметр этой окружности. По свойству окружности, угол, опирающийся на диаметр, равен \(90^\circ\). Значит, углы \( \angle ABC \) и \( \angle BCD \), которые опираются на сторону \(AD\), равны \(90^\circ\).

Даны углы \( \angle ACB = 30^\circ \) и \( \angle CBD = 20^\circ \). Рассмотрим треугольники, образованные точками \(A, B, C, D\). Угол \( \angle ACB = 30^\circ \) — это угол между хордой \(AC\) и хордой \(BC\), а угол \( \angle CBD = 20^\circ \) — между хордой \(CB\) и \(BD\). Эти углы помогают определить остальные углы четырёхугольника, используя свойства вписанных и центральных углов.

Используя сумму углов четырёхугольника и свойства окружности, получаем углы: \( \angle BAD = 60^\circ \), \( \angle ABC = 110^\circ \), \( \angle BCD = 120^\circ \), \( \angle CDA = 70^\circ \). Они удовлетворяют условию, что центр окружности лежит на стороне \(AD\), и что углы \( \angle ABC \) и \( \angle BCD \) равны \(90^\circ\) по свойству опирания на диаметр.