ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.9 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу на отрезки 8 см и 12 см. Найдите периметр треугольника.

Дано: гипотенуза разделена точкой касания на отрезки 8 см и 12 см.

Пусть стороны треугольника: \(a\), \(b\), гипотенуза \(c = 8 + 12 = 20\) см.

По свойству касательных: отрезки от вершины до точки касания равны.

Тогда катеты: \(a = 8 + x\), \(b = 12 + x\), где \(x\) — длина касательной от третьей вершины.

Сумма всех касательных равна периметру: \(P = 8 + 12 + (8 + x) + (12 + x) + x + x = 20 + 8 + 12 + 2x\).

Из решения на фото: \(ON = \sqrt{8 \cdot 12} = 4\sqrt{6}\) см.

Тогда \(x = 4\sqrt{6}\) см.

Периметр: \(P = 20 + 8 + 12 + 2 \cdot 4\sqrt{6} = 40 + 8\sqrt{6}\) см.

В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на два отрезка: 8 см и 12 см. Пусть гипотенуза \(AB\) разделена точкой касания \(K\) на \(AK = 8\) см и \(KB = 12\) см. Тогда длина гипотенузы \(c = 8 + 12 = 20\) см.

Вписанная окружность касается сторон треугольника в точках, и отрезки от вершины треугольника до точки касания равны. Пусть \(O\) — центр вписанной окружности, а \(r\) — радиус. По свойству касательных от одной точки к окружности: если из вершины \(C\) проведены касательные к окружности, то их длины равны. Пусть длина касательных от \(C\) равна \(x\). Тогда стороны треугольника выражаются через сумму соответствующих отрезков: \(AC = AK + x = 8 + x\), \(BC = BK + x = 12 + x\). Периметр треугольника равен сумме всех сторон: \(P = AB + AC + BC = 20 + (8 + x) + (12 + x) = 40 + 2x\).

Для нахождения \(x\) используем формулу расстояния от центра окружности до гипотенузы. В решении на фото вычислено: \(ON = \sqrt{8 \cdot 12} = 4\sqrt{6}\) см. Это значение и есть длина касательной от вершины \(C\) до точки касания. Следовательно, \(x = 4\sqrt{6}\) см. Подставим это значение в формулу периметра: \(P = 40 + 2 \cdot 4\sqrt{6} = 40 + 8\sqrt{6}\) см.

Таким образом, все стороны треугольника выражаются через известные отрезки и найденную длину касательной. Периметр треугольника составляет \(40 + 8\sqrt{6}\) см, где \(40\) — сумма длин гипотенузы и двух известных отрезков, а \(8\sqrt{6}\) — удвоенная длина касательной от третьей вершины.