ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.90 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите диагональ \(AC\) четырёхугольника \(ABCD\), если около него можно описать окружность и \(AB = 3\) см, \(BC = 4\) см, \(CD = 5\) см, \(AD = 6\) см.

Так как около четырёхугольника можно описать окружность, то сумма противоположных углов равна \(180^\circ\).

Используем теорему косинусов для треугольников \(ABC\) и \(ADC\):

Для треугольника \(ABC\):
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC\),
то есть
\(AC^2 = 3^2 + 4^2 — 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos \beta = 9 + 16 — 24 \cos \beta\).

Для треугольника \(ADC\):
\(AC^2 = AD^2 + CD^2 — 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos \angle ADC\),
то есть
\(AC^2 = 6^2 + 5^2 — 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos (180^\circ — \beta) = 36 + 25 — 60 \cos (180^\circ — \beta)\).

Так как \(\cos (180^\circ — \beta) = — \cos \beta\), то
\(AC^2 = 36 + 25 + 60 \cos \beta = 61 + 60 \cos \beta\).

Приравниваем выражения:
\(9 + 16 — 24 \cos \beta = 61 + 60 \cos \beta\).

Решаем уравнение:
\(25 — 24 \cos \beta = 61 + 60 \cos \beta\),
\(-24 \cos \beta — 60 \cos \beta = 61 — 25\),
\(-84 \cos \beta = 36\),
\(\cos \beta = -\frac{36}{84} = -\frac{3}{7}\).

Подставляем обратно в формулу:
\(AC^2 = 9 + 16 — 24 \cdot \left(-\frac{3}{7}\right) = 25 + \frac{72}{7} = \frac{175}{7} + \frac{72}{7} = \frac{247}{7}\).

Следовательно,
\(AC = \sqrt{\frac{247}{7}}\) см.

Четырёхугольник \(ABCD\) описан около окружности, значит он вписанный. Для вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна \(180^\circ\). Обозначим угол при вершине \(B\) как \(\beta\), тогда угол при вершине \(D\) будет равен \(180^\circ — \beta\). Это важное свойство позволяет связать углы в треугольниках \(ABC\) и \(ADC\), которые образуются диагональю \(AC\).

Для нахождения длины диагонали \(AC\) применим теорему косинусов в треугольнике \(ABC\). Теорема гласит, что квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В нашем случае это будет
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \beta\).
Подставляя известные длины, получаем
\(AC^2 = 3^2 + 4^2 — 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos \beta = 9 + 16 — 24 \cos \beta\).

Аналогично применяем теорему косинусов к треугольнику \(ADC\), где угол при вершине \(D\) равен \(180^\circ — \beta\). Тогда
\(AC^2 = AD^2 + CD^2 — 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos (180^\circ — \beta)\).
Подставляя значения, получаем
\(AC^2 = 6^2 + 5^2 — 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos (180^\circ — \beta) = 36 + 25 — 60 \cos (180^\circ — \beta)\).
Известно, что \(\cos (180^\circ — \beta) = — \cos \beta\), поэтому
\(AC^2 = 36 + 25 + 60 \cos \beta = 61 + 60 \cos \beta\).

Поскольку обе формулы выражают одно и то же \(AC^2\), приравниваем их:
\(9 + 16 — 24 \cos \beta = 61 + 60 \cos \beta\),
что упрощается до
\(25 — 24 \cos \beta = 61 + 60 \cos \beta\).
Переносим все члены с \(\cos \beta\) в одну сторону, а числа — в другую:
\(-24 \cos \beta — 60 \cos \beta = 61 — 25\),
\(-84 \cos \beta = 36\),
откуда
\(\cos \beta = -\frac{36}{84} = -\frac{3}{7}\).

Подставляем найденное значение \(\cos \beta\) обратно в формулу для \(AC^2\):
\(AC^2 = 9 + 16 — 24 \cdot \left(-\frac{3}{7}\right) = 25 + \frac{72}{7} = \frac{175}{7} + \frac{72}{7} = \frac{247}{7}\).

Итоговая длина диагонали:
\(AC = \sqrt{\frac{247}{7}}\) см.