ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.91 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Как относится сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, к стороне правильного треугольника, описанного около этой окружности?

Пусть сторона вписанного правильного треугольника равна \(a_3 \text{ вп}\), а сторона описанного правильного треугольника — \(a_3 \text{ оп}\).

Из условия известно, что

\[
\frac{a_3 \text{ вп}}{a_3 \text{ оп}} = \frac{1}{2}.
\]

Это значит, что сторона вписанного треугольника в 2 раза меньше стороны описанного треугольника.

Рассмотрим правильный треугольник, вписанный в окружность, и правильный треугольник, описанный около той же окружности. Пусть сторона вписанного треугольника равна \(a_3 \text{ вп}\), а сторона описанного треугольника — \(a_3 \text{ оп}\).

В правильном треугольнике радиус описанной окружности \(R\) связан со стороной треугольника \(a\) формулой \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\). Радиус вписанной окружности \(r\) для правильного треугольника равен \(r = \frac{a \sqrt{3}}{6}\). Для вписанного треугольника радиус описанной окружности совпадает с радиусом данной окружности, а для описанного треугольника радиус вписанной окружности совпадает с этой же окружностью.

Пусть радиус окружности равен \(R\). Тогда сторона вписанного треугольника \(a_3 \text{ вп} = R \sqrt{3}\), а сторона описанного треугольника \(a_3 \text{ оп} = 2 R \sqrt{3}\). Следовательно, отношение сторон будет равно

\[
\frac{a_3 \text{ вп}}{a_3 \text{ оп}} = \frac{R \sqrt{3}}{2 R \sqrt{3}} = \frac{1}{2}.
\]

Это означает, что сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, в два раза меньше стороны правильного треугольника, описанного около той же окружности.