ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.92 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Как относится сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, к стороне правильного шестиугольника, описанного около этой окружности?

Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности. Обозначим радиус окружности за \(R\).

Сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности, равна длине касательной к окружности от центра до точки касания, то есть \(a_{\text{осн}} = R \sqrt{3}\).

Отношение стороны вписанного шестиугольника \(a_{\text{вп}}\) к стороне описанного \(a_{\text{осн}}\) будет:

\( \frac{a_{\text{вп}}}{a_{\text{осн}}} = \frac{R}{R \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3} \).

Упрощая, получаем:

\( \frac{a_{\text{вп}}}{a_{\text{осн}}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( \frac{a_{\text{вп}}}{a_{\text{осн}}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Рассмотрим правильный шестиугольник, вписанный в окружность с радиусом \(R\). Сторона такого шестиугольника равна длине хорды, которая соединяет две соседние точки касания окружности, то есть равна радиусу \(R\). Это связано с тем, что угол при центре, соответствующий стороне шестиугольника, равен \(360^\circ \div 6 = 60^\circ\), а сторона шестиугольника — это хорда, которая подстилает этот угол. По свойствам правильного шестиугольника длина стороны равна радиусу окружности, в которую он вписан, значит \(a_{\text{вп}} = R\).

Теперь рассмотрим правильный шестиугольник, описанный около той же окружности. В этом случае окружность является вписанной в этот шестиугольник. Сторона описанного шестиугольника равна расстоянию между двумя точками касания окружности к сторонам шестиугольника. Для правильного шестиугольника расстояние от центра до стороны (апофема) равно \(R\), а сторона может быть выражена через апофему. Из геометрии правильного шестиугольника известно, что апофема \(r = R\) связана со стороной \(a_{\text{осн}}\) формулой \(r = a_{\text{осн}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\). Следовательно, сторона описанного шестиугольника равна \(a_{\text{осн}} = \frac{2R}{\sqrt{3}}\).

Отношение стороны вписанного шестиугольника \(a_{\text{вп}}\) к стороне описанного \(a_{\text{осн}}\) будет равно

\( \frac{a_{\text{вп}}}{a_{\text{осн}}} = \frac{R}{\frac{2R}{\sqrt{3}}} = \frac{R \cdot \sqrt{3}}{2R} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Таким образом, сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, относится к стороне правильного шестиугольника, описанного около этой же окружности, как \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).