ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.94 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Общая хорда двух пересекающихся окружностей является стороной правильного треугольника, вписанного в одну окружность, и стороной правильного шестиугольника, вписанного в другую окружность. Длина этой хорды равна \(a\). Найдите расстояние между центрами окружностей, если они лежат по одну сторону от хорды.

Обозначим радиусы окружностей через \(R_1\) и \(R_2\).

Так как хорда — сторона правильного треугольника, вписанного в первую окружность, то \(a = R_1 \sqrt{3}\), откуда \(R_1 = \frac{a \sqrt{3}}{3}\).

Хорда также сторона правильного шестиугольника, вписанного во вторую окружность, значит \(a = R_2\).

Расстояние между центрами окружностей, лежащих по одну сторону от хорды, вычисляется по формуле
\(d = \sqrt{R_1^2 + R_2^2 — a^2}\).

Подставляем значения:
\(d = \sqrt{\left(\frac{a \sqrt{3}}{3}\right)^2 + a^2 — a^2} = \sqrt{\frac{a^2 \cdot 3}{9}} = \frac{a \sqrt{3}}{3}\).

Ответ: \(d = \frac{a \sqrt{3}}{3}\).

Обозначим радиусы двух окружностей через \(R_1\) и \(R_2\). Рассмотрим, что у нас есть хорда длины \(a\), которая одновременно является стороной правильного треугольника, вписанного в первую окружность, и стороной правильного шестиугольника, вписанного во вторую окружность. Это важное условие, потому что длина стороны правильного многоугольника связана с радиусом описанной окружности определённым образом.

Для правильного треугольника сторона \(a\) связана с радиусом описанной окружности \(R_1\) формулой \(a = R_1 \sqrt{3}\). Это следует из того, что в правильном треугольнике радиус описанной окружности равен \(R_1 = \frac{a}{\sqrt{3}}\), или, что то же самое, \(a = R_1 \sqrt{3}\). Перепишем эту формулу так, чтобы выразить радиус через сторону: \(R_1 = \frac{a \sqrt{3}}{3}\). Это ключевое уравнение, которое связывает сторону треугольника и радиус первой окружности.

Во второй окружности вписан правильный шестиугольник, у которого сторона равна радиусу описанной окружности. Следовательно, длина стороны \(a\) равна радиусу второй окружности, то есть \(a = R_2\). Таким образом, мы получили два выражения для радиусов: \(R_1 = \frac{a \sqrt{3}}{3}\) и \(R_2 = a\).

Теперь рассмотрим расстояние между центрами двух окружностей, которые расположены по одну сторону от хорды длины \(a\). Это расстояние можно вычислить с помощью теоремы косинусов в треугольнике, образованном центрами окружностей и концами хорды. Формула для расстояния \(d\) между центрами окружностей, если известно, что хорда является общей стороной, выглядит так:
\(d = \sqrt{R_1^2 + R_2^2 — a^2}\).

Подставим сюда наши выражения для радиусов:
\(d = \sqrt{\left(\frac{a \sqrt{3}}{3}\right)^2 + a^2 — a^2}\).

Раскроем скобки и возведём в квадрат:
\(\left(\frac{a \sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{a^2 \cdot 3}{9} = \frac{a^2}{3}\).

Тогда формула для \(d\) упрощается до:
\(d = \sqrt{\frac{a^2}{3} + a^2 — a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{3}} = \frac{a \sqrt{3}}{3}\).

Таким образом, расстояние между центрами двух окружностей равно \(d = \frac{a \sqrt{3}}{3}\). Этот результат показывает, что центры окружностей расположены на расстоянии, пропорциональном длине хорды и корню из трёх, делённому на три.