ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.97 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В окружности даны точки \( A \), \( B \), \( C \), \( K \), \( M \) так, что треугольники \( ABC \) и \( MKC \) подобны. Известны длины отрезков: \( AB = 4 \) см, \( BC = 2 \) см, \( CK = 8 \) см. Требуется найти длину отрезка \( KM \).

Рассмотрим треугольники \( ABC \) и \( MKC \). Они подобны по трём углам:
\(\angle ABC = \angle CKM\),
\(\angle BAC = \angle CMK\),
\(\angle MCK = \angle ACB\).

По подобию треугольников запишем отношение сторон:
\(\frac{AB}{KM} = \frac{BC}{CK}\).

Выразим \( KM \):
\(KM = \frac{AB \cdot CK}{BC}\).

Подставим значения:
\(KM = \frac{4 \cdot 8}{2} = \frac{32}{2} = 16\).

Ответ:
\(KM = 16 \text{ см}\).

Рассмотрим треугольники \( ABC \) и \( MKC \), которые лежат на окружности. Чтобы доказать их подобие, нужно показать равенство трёх пар соответствующих углов. Первый угол \( \angle ABC \) равен углу \( \angle CKM \), так как они опираются на одну и ту же дугу окружности. Аналогично, угол \( \angle BAC \) равен углу \( \angle CMK \) по той же причине — они тоже опираются на одну и ту же дугу. Третий угол \( \angle MCK \) равен углу \( \angle ACB \), так как эти углы являются вертикальными, то есть образованы пересечением двух прямых и равны по определению.

Из равенства всех трёх углов следует, что треугольники \( ABC \) и \( MKC \) подобны по первому признаку подобия — по трём углам. Подобие треугольников означает, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. Поэтому можно записать равенство отношения соответствующих сторон: \( \frac{AB}{KM} = \frac{BC}{CK} \). Это равенство позволяет найти неизвестную сторону \( KM \), если известны остальные стороны.

Выразим длину \( KM \) из этого равенства: умножим обе части на \( KM \) и поделим на \( \frac{BC}{CK} \), получим \( KM = \frac{AB \cdot CK}{BC} \). Подставим числовые значения: \( AB = 4 \), \( CK = 8 \), \( BC = 2 \). Выполним вычисления: \( KM = \frac{4 \cdot 8}{2} = \frac{32}{2} = 16 \). Таким образом, длина отрезка \( KM \) равна 16 см.