ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 22.99 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны две окружности с центрами в точках \( A \) и \( B \), расположенные на прямой так, что расстояние между центрами \( AB = 17 \) см. Известно, что длина общей внешней касательной к этим окружностям равна 15 см. Требуется найти радиусы окружностей \( AO \) и \( OB \).

Выполним чертёж и обозначим радиусы \( AO \) и \( OB \), общая касательная \( OK \), длины \( AB = 17 \) см, \( NM = 15 \) см.

Выразим радиус \( OB \) через \( AO \):
\( OB = 17 — AO \).

По формуле общей внешней касательной:
\( NM^2 = AB^2 — (OB — OA)^2 \),
подставляем значения:
\( 15^2 = 17^2 — (17 — AO — AO)^2 \),
\( 225 = 289 — (17 — 2AO)^2 \).

Раскрываем скобки и приводим к квадратному уравнению:
\( 225 = 289 — 289 + 68AO — 4AO^2 \),
\( 225 = 68AO — 4AO^2 \),
\( 4AO^2 — 68AO + 225 = 0 \).

Вычисляем дискриминант:
\( D = (-68)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 225 = 4624 — 3600 = 1024 \).

Находим корни:
\( AO_1 = \frac{68 + 32}{2 \cdot 4} = \frac{100}{8} = 12.5 \) см,
\( AO_2 = \frac{68 — 32}{2 \cdot 4} = \frac{36}{8} = 4.5 \) см.

Определяем радиусы:
1. \( OB = 17 — 12.5 = 4.5 \) см,
2. \( OB = 17 — 4.5 = 12.5 \) см.

Радиусы окружностей равны 4.5 см и 12.5 см.

Рассмотрим задачу, в которой даны две окружности с центрами \( A \) и \( B \), радиусами \( AO \) и \( OB \), а также общая внешняя касательная \( OK \). Из условия известно, что отрезок \( AB \) равен 17 см, а длина отрезка касательной \( NM \) равна 15 см. Нам нужно найти радиусы этих окружностей.

Сначала выразим один радиус через другой. Поскольку \( AB = AO + OB \), то из этого следует, что \( OB = 17 — AO \). Это важное соотношение, которое позволит нам перейти к уравнению с одной переменной. Далее воспользуемся формулой для длины общей внешней касательной двух окружностей, которая записывается так: \( NM^2 = AB^2 — (OB — AO)^2 \). Подставим в неё известные значения: \( 15^2 = 17^2 — (17 — AO — AO)^2 \). Это уравнение связывает длину касательной \( NM \) с радиусами окружностей.

Раскроем скобки и упростим выражение. Сначала вычислим квадраты: \( 225 = 289 — (17 — 2AO)^2 \). Раскроем квадрат разности: \( (17 — 2AO)^2 = 289 — 68AO + 4AO^2 \). Подставим обратно и получим: \( 225 = 289 — 289 + 68AO — 4AO^2 \), что упрощается до \( 225 = 68AO — 4AO^2 \). Перенесём все члены в одну сторону: \( 4AO^2 — 68AO + 225 = 0 \). Это квадратное уравнение относительно \( AO \), которое мы можем решить.

Для решения вычислим дискриминант: \( D = (-68)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 225 = 4624 — 3600 = 1024 \). Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Найдём их по формуле:
\( AO_1 = \frac{68 + \sqrt{1024}}{2 \cdot 4} = \frac{68 + 32}{8} = \frac{100}{8} = 12.5 \) см,
\( AO_2 = \frac{68 — \sqrt{1024}}{2 \cdot 4} = \frac{68 — 32}{8} = \frac{36}{8} = 4.5 \) см.

Теперь определим радиусы окружностей. Если \( AO = 12.5 \) см, тогда \( OB = 17 — 12.5 = 4.5 \) см. Если \( AO = 4.5 \) см, тогда \( OB = 17 — 4.5 = 12.5 \) см. Таким образом, радиусы окружностей равны 4.5 см и 12.5 см.