ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.1 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дана призма \(ABCA_1B_1C_1\) (рис. 3.10). Найдите сумму векторов:

1) \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AA_1}\);

2) \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{A_1C_1}\).

Для 1) вектор \(\overrightarrow{AA_1}\) равен \(\overrightarrow{CC_1}\) по свойствам призмы. Тогда сумма \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{BC_1}\).

Для 2) вектор \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\), а \(\overrightarrow{A_1C_1}\) параллелен \(\overrightarrow{AC}\). Тогда \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{A_1C_1} = \overrightarrow{B A} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{B C}\).

В призме вектор \(\overrightarrow{AA_1}\) направлен вертикально вверх и равен вектору \(\overrightarrow{CC_1}\) по длине и направлению, так как боковые ребра призмы равны и параллельны. Вектор \(\overrightarrow{BC}\) лежит в основании призмы и соединяет точки \(B\) и \(C\). При сложении векторов \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AA_1}\) мы можем представить это как переход сначала вдоль основания от \(B\) к \(C\), а затем вверх от \(C\) к \(C_1\). Это равносильно вектору \(\overrightarrow{BC_1}\), который соединяет точку \(B\) в нижнем основании с точкой \(C_1\) в верхнем основании.

Во втором случае вектор \(\overrightarrow{BA}\) направлен от точки \(B\) к точке \(A\) и является противоположным вектору \(\overrightarrow{AB}\). Вектор \(\overrightarrow{A_1C_1}\) лежит в верхнем основании и направлен от \(A_1\) к \(C_1\). Сложение \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{A_1C_1}\) можно представить как движение от \(B\) к \(A\), затем вертикальный переход от \(A\) к \(A_1\) (через боковое ребро призмы), и далее движение в верхнем основании от \(A_1\) к \(C_1\). В итоге это движение эквивалентно вектору \(\overrightarrow{B C_1}\), который соединяет точку \(B\) в нижнем основании с точкой \(C_1\) в верхнем.

Таким образом, обе суммы векторов приводят к вектору, соединяющему точку \(B\) в нижнем основании с точкой \(C_1\) в верхнем основании призмы. Это подтверждает равенства: \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{B C}\).