ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.11 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 3.13). Укажите все векторы, началом и концом каждого из которых являются вершины параллелепипеда, противоположные вектору:

1) \(\overrightarrow{AD}\);

2) \(\overrightarrow{B_1D}\);

3) \(\overrightarrow{AC}\).

Вектор противоположен, если он равен по модулю и противоположен по направлению.

1) Для \(\overrightarrow{AD}\) противоположные векторы: \(\overrightarrow{CB}\), \(\overrightarrow{C_1B_1}\), \(\overrightarrow{B_1D_1}\), так как они имеют одинаковую длину и направление, обратное \(\overrightarrow{AD}\).

2) Для \(\overrightarrow{B_1D}\) противоположный вектор: \(\overrightarrow{DB}\).

3) Для \(\overrightarrow{AC}\) противоположные векторы: \(\overrightarrow{CA}\), \(\overrightarrow{C_1D_1}\), так как они направлены в противоположную сторону и равны по длине.

Вектор считается противоположным другому вектору, если они равны по длине, но направлены в противоположные стороны. Рассмотрим параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Вершины параллелепипеда расположены так, что можно определить векторы по ребрам и диагоналям.

Для вектора \(\overrightarrow{AD}\) нужно найти все векторы, которые начинаются и заканчиваются в вершинах параллелепипеда так, чтобы быть противоположными \(\overrightarrow{AD}\). Вектор \(\overrightarrow{AD}\) направлен от точки \(A\) к точке \(D\). Противоположным ему будет вектор, направленный от \(D\) к \(A\), но с началом и концом в других вершинах, сохраняющий ту же длину и направление, но в обратную сторону. Такие векторы — это \(\overrightarrow{CB}\), \(\overrightarrow{C_1B_1}\) и \(\overrightarrow{B_1D_1}\). Все они параллельны \(\overrightarrow{AD}\) и имеют одинаковую длину, но направлены противоположно.

Для вектора \(\overrightarrow{B_1D}\) начало в точке \(B_1\), конец в точке \(D\). Противоположным будет вектор с началом в \(D\) и концом в \(B\), то есть \(\overrightarrow{DB}\). Он равен по длине и противоположен по направлению \(\overrightarrow{B_1D}\).

Для вектора \(\overrightarrow{AC}\) начало в \(A\), конец в \(C\). Противоположными векторами будут \(\overrightarrow{CA}\) и \(\overrightarrow{C_1D_1}\). Вектор \(\overrightarrow{CA}\) направлен от \(C\) к \(A\), а \(\overrightarrow{C_1D_1}\) — от \(C_1\) к \(D_1\), оба противоположны \(\overrightarrow{AC}\) по направлению и равны по длине.

Таким образом, противоположные векторы определяются по их направлению и длине, и для каждого заданного вектора найдены все возможные векторы с противоположным направлением, началом и концом в вершинах параллелепипеда.