ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (см. рис. 3.13). Укажите все векторы, началом и концом каждого из которых являются вершины параллелепипеда, противоположные вектору:

1) \(\overrightarrow{B_1B}\);

2) \(\overrightarrow{CD}\).

Вектор противоположен другому, если он равен по модулю и направлен в противоположную сторону.

Для вектора \(\overrightarrow{B_1B}\) противоположными будут векторы, направленные от \(B\) к \(B_1\) и аналогичные по направлению: \(\overrightarrow{BB_1}\), \(\overrightarrow{A_1A}\), \(\overrightarrow{CC_1}\), \(\overrightarrow{DD_1}\).

Для вектора \(\overrightarrow{CD}\) противоположными будут векторы, направленные от \(D\) к \(C\) и аналогичные:  \(\overrightarrow{D_1C}\), \(\overrightarrow{A_1B}\).

1. Вектор называется противоположным другому вектору, если он имеет одинаковую длину (модуль), но направлен в противоположную сторону. Это означает, что если у нас есть вектор \(\overrightarrow{AB}\), то вектор \(\overrightarrow{BA}\) будет его противоположным, поскольку он начинается в точке \(B\) и направлен к точке \(A\), то есть в обратном направлении по сравнению с \(\overrightarrow{AB}\). Формально, если вектор \(\overrightarrow{v}\) имеет координаты \((x, y, z)\), то противоположный ему вектор \(\overrightarrow{-v}\) будет иметь координаты \((-x, -y, -z)\). Модуль вектора при этом не меняется, так как \(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{(-x)^2 + (-y)^2 + (-z)^2}\).

2. Рассмотрим вектор \(\overrightarrow{B_1B}\). Этот вектор направлен от точки \(B_1\) к точке \(B\). Чтобы найти вектор, противоположный \(\overrightarrow{B_1B}\), нужно взять вектор, направленный от \(B\) к \(B_1\), то есть \(\overrightarrow{BB_1}\). Он будет иметь ту же длину, но обратное направление. Аналогично, если есть другие векторы, которые совпадают по направлению и длине с \(\overrightarrow{BB_1}\), они тоже будут противоположными \(\overrightarrow{B_1B}\). В вашем примере это векторы \(\overrightarrow{A_1A}\), \(\overrightarrow{CC_1}\), \(\overrightarrow{DD_1}\). Все они направлены в сторону, обратную вектору \(\overrightarrow{B_1B}\), и имеют одинаковую длину, что делает их противоположными.

3. Аналогично для вектора \(\overrightarrow{CD}\), который направлен от точки \(C\) к точке \(D\), противоположным будет вектор \(\overrightarrow{DC}\), направленный от \(D\) к \(C\). Кроме того, векторы, совпадающие по длине и направлению с \(\overrightarrow{DC}\), также считаются противоположными \(\overrightarrow{CD}\). В вашем примере это векторы \(\overrightarrow{D_1C}\) и \(\overrightarrow{A_1B}\). Они имеют ту же длину, что и \(\overrightarrow{CD}\), но направлены в обратную сторону, что и делает их противоположными. Таким образом, противоположность векторов определяется не только точками начала и конца, но и совпадением по длине и обратным направлением.