ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.14 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{NK} + \overrightarrow{DC}\);

2) \(\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{CD} — \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{CF} — \overrightarrow{EF}\).

Для выражения \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{NK} + \overrightarrow{DC} \)
сгруппируем: \( \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{BA} \), \( \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DC} = \emptyset \), и \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \emptyset \). Остаётся \( \overrightarrow{NK} \).

Для выражения \( \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{CD} — \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{CF} — \overrightarrow{EF} \)
заменяем на \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FE} \), группируем \( \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{DF} — \overrightarrow{EF} \), получаем \( \overrightarrow{FB} + \overrightarrow{DF} = \overrightarrow{DB} \).

Рассмотрим выражение \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{NK} + \overrightarrow{DC} \). Вектор \( \overrightarrow{BM} \) направлен от точки B к точке M, а \( \overrightarrow{MA} \) — от точки M к точке A. Сложение этих двух векторов даёт вектор от точки B к точке A, то есть \( \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{BA} \). Далее, векторы \( \overrightarrow{CD} \) и \( \overrightarrow{DC} \) являются противоположными по направлению, поэтому их сумма равна нулевому вектору: \( \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DC} = \emptyset \). Теперь исходное выражение можно переписать как \( \overrightarrow{AB} + \emptyset + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{NK} \).

Поскольку \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{BA} \) тоже противоположны, их сумма равна нулю: \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \emptyset \). Таким образом, остаётся только вектор \( \overrightarrow{NK} \), который и является результатом упрощения всего выражения.

Рассмотрим второе выражение \( \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{CD} — \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{CF} — \overrightarrow{EF} \). Знак минус перед вектором означает взятие противоположного вектора, поэтому \( -\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DC} \), \( -\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{EA} \), \( -\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{FE} \). Подставляя, получаем сумму \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FE} \). Далее сгруппируем векторы так, чтобы получить пути между точками: \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{EA} = \overrightarrow{EB} \), так как путь из E в B через A равен сумме этих векторов.

Оставшиеся три вектора \( \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FE} \) образуют путь из D в F через C и E, что равно \( \overrightarrow{DF} \). Теперь выражение принимает вид \( \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{DF} \). Чтобы упростить дальше, вычтем и добавим вектор \( \overrightarrow{EF} \), что даёт \( \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{DF} — \overrightarrow{EF} \). Здесь \( \overrightarrow{EB} — \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{FB} \), так как это путь от F к B через E. Тогда сумма становится \( \overrightarrow{FB} + \overrightarrow{DF} \), что равно \( \overrightarrow{DB} \), так как путь из D в B через F — это сумма этих векторов.

Таким образом, итоговые упрощённые выражения: первое равно \( \overrightarrow{NK} \), второе — \( \overrightarrow{DB} \).