ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{FD} + \overrightarrow{FC} + \overrightarrow{BM}\);

2) \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{DE} — \overrightarrow{DF} — \overrightarrow{AC}\).

1) \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{FD} + \overrightarrow{FC} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{FD} =\)
\(= \overrightarrow{FD} + \overrightarrow{FD} = \overrightarrow{FM} \)

2) \( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{DE} — \overrightarrow{DF} — \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FE} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BE} \)

Рассмотрим первое выражение \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{FD} + \overrightarrow{FC} + \overrightarrow{BM} \). Сгруппируем векторы так, чтобы упростить сумму. Заметим, что векторы \( \overrightarrow{CF} \) и \( \overrightarrow{FC} \) направлены в противоположные стороны, следовательно, их сумма равна нулю: \( \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FC} = \emptyset \). Далее, векторы \( \overrightarrow{EA} \) и \( \overrightarrow{AB} \) можно рассмотреть вместе с \( \overrightarrow{BM} \), поскольку \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AM} \).

Теперь обратим внимание на векторы \( \overrightarrow{DE} \) и \( \overrightarrow{FD} \). Их сумма равна \( \overrightarrow{FE} \), так как \( \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{FD} = \overrightarrow{FE} \). Подставим эти упрощения обратно в выражение, получаем \( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{FE} + \overrightarrow{EA} \). Поскольку \( \overrightarrow{EA} = -\overrightarrow{AE} \), а \( \overrightarrow{FE} + \overrightarrow{EA} = \overrightarrow{FA} \), итоговое выражение сводится к \( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{FA} \).

Сумма \( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{FA} \) равна \( \overrightarrow{FM} \), так как движение от точки \( F \) к \( A \), а затем от \( A \) к \( M \) эквивалентно движению от \( F \) к \( M \). Таким образом, первое выражение упрощается до \( \overrightarrow{FM} \).

Рассмотрим второе выражение \( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{DE} — \overrightarrow{DF} — \overrightarrow{AC} \). Перепишем его, сгруппировав части: \( (\overrightarrow{DE} — \overrightarrow{DF}) + (\overrightarrow{AF} — \overrightarrow{AC}) + \overrightarrow{BC} \). Разность векторов \( \overrightarrow{DE} — \overrightarrow{DF} \) равна \( \overrightarrow{FE} \), так как \( \overrightarrow{DE} \) направлен от \( D \) к \( E \), а \( \overrightarrow{DF} \) — от \( D \) к \( F \), поэтому их разность — это вектор от \( F \) к \( E \).

Аналогично, разность \( \overrightarrow{AF} — \overrightarrow{AC} \) равна \( \overrightarrow{CF} \), поскольку \( \overrightarrow{AF} \) направлен от \( A \) к \( F \), а \( \overrightarrow{AC} \) — от \( A \) к \( C \). Добавляя к этому вектор \( \overrightarrow{BC} \), получаем сумму \( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FE} \).

Сумма \( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CF} \) равна \( \overrightarrow{BF} \), так как движение от \( B \) к \( C \), а затем от \( C \) к \( F \) эквивалентно движению от \( B \) к \( F \). Добавляя \( \overrightarrow{FE} \), получаем вектор \( \overrightarrow{BE} \), который направлен от \( B \) к \( E \). Таким образом, второе выражение упрощается до \( \overrightarrow{BE} \).