ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что векторы \(\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{DA} — \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{AM}\) противоположны.

Рассмотрим вектор \( \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} \).

Раскроем:
\( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} \),
поэтому
\( \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} — \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} \).

Так как \( \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BD} = \emptyset \), получаем
\( \overrightarrow{AD} — \overrightarrow{AC} \).

Теперь рассмотрим второй вектор
\( \overrightarrow{DA} — \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{AM} \).

Раскроем \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MC} \), тогда
\( \overrightarrow{AD} — \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} — (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MC}) = \overrightarrow{AD} — \overrightarrow{AM} — \overrightarrow{MC} \).

Второй вектор перепишем как
\( \overrightarrow{DA} — \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{AD} — \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{AM} \).

Сравнивая, видим, что
\( \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = -(\overrightarrow{DA} — \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{AM}) \).

Следовательно, векторы противоположны.

Рассмотрим сначала вектор \( \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} \). Чтобы упростить выражение, выразим векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \) через другие векторы, связанные с точками \( A, D, M, C \). Заметим, что \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} \), так как путь от \( A \) до \( B \) можно представить как сумму пути от \( A \) до \( D \) и от \( D \) до \( B \). Аналогично, вектор \( \overrightarrow{AC} \) можно представить как сумму \( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MC} \), если точка \( M \) лежит на отрезке \( AC \). Тогда исходное выражение перепишется так:
\( \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}) — (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MC}) + \overrightarrow{BD} \).

Далее упростим полученное выражение. Обратим внимание, что \( \overrightarrow{DB} \) и \( \overrightarrow{BD} \) — противоположные векторы, то есть их сумма равна нулю: \( \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BD} = \emptyset \). Значит, эти два слагаемых взаимно уничтожаются, и остаётся
\( \overrightarrow{AD} — \overrightarrow{AM} — \overrightarrow{MC} \). Это упрощённое выражение для первого вектора.

Теперь рассмотрим второй вектор \( \overrightarrow{DA} — \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{AM} \). Вектор \( \overrightarrow{DA} \) по определению противоположен вектору \( \overrightarrow{AD} \), то есть \( \overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD} \). Подставим это в выражение:
\( \overrightarrow{DA} — \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{AD} — \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{AM} \).

Теперь сравним оба выражения:
первый вектор равен \( \overrightarrow{AD} — \overrightarrow{AM} — \overrightarrow{MC} \),
второй — \( -\overrightarrow{AD} — \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{AM} \).

Если внимательно посмотреть, то видно, что второй вектор равен отрицанию первого, поскольку
\( -(\overrightarrow{AD} — \overrightarrow{AM} — \overrightarrow{MC}) = -\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MC} \),
а в выражении второго вектора знаки у \( \overrightarrow{AM} \) и \( \overrightarrow{CM} \) совпадают с этим отрицанием (учитывая, что \( \overrightarrow{CM} = -\overrightarrow{MC} \)). Таким образом,
\( \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = -(\overrightarrow{DA} — \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{AM}) \),
что доказывает, что данные векторы противоположны.