ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.17 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что векторы \(\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} — \overrightarrow{KE}\) и \(\overrightarrow{MC} — \overrightarrow{MK} — \overrightarrow{EC}\) противоположны.

Вектор \( \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} — \overrightarrow{KE} \) равен \( \overrightarrow{CE} — \overrightarrow{KE} = \overrightarrow{CK} \).

Вектор \( \overrightarrow{MC} — \overrightarrow{MK} — \overrightarrow{EC} \) равен \( \overrightarrow{ME} — \overrightarrow{MK} — \overrightarrow{EC} = \overrightarrow{KE} — \overrightarrow{EC} = \overrightarrow{KC} \).

Поскольку \( \overrightarrow{CK} = -\overrightarrow{KC} \), то данные векторы противоположны.

Рассмотрим выражение \( \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} — \overrightarrow{KE} \). Вектор \( \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} \) можно заменить на вектор \( \overrightarrow{CE} \), так как сумма двух последовательных векторов равна вектору от начала первого до конца второго. Тогда выражение принимает вид \( \overrightarrow{CE} — \overrightarrow{KE} \). Вычитание вектора \( \overrightarrow{KE} \) эквивалентно сложению с обратным вектором, то есть \( \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{EK} \). Сложение \( \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{EK} \) даёт вектор \( \overrightarrow{CK} \).

Далее рассмотрим второй вектор \( \overrightarrow{MC} — \overrightarrow{MK} — \overrightarrow{EC} \). Перепишем его как \( \overrightarrow{MC} — \overrightarrow{MK} — \overrightarrow{EC} = (\overrightarrow{MC} — \overrightarrow{MK}) — \overrightarrow{EC} \). Разность \( \overrightarrow{MC} — \overrightarrow{MK} \) равна вектору \( \overrightarrow{KC} \) с противоположным направлением, но для удобства перепишем через \( \overrightarrow{ME} \), учитывая, что \( \overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MC} — \overrightarrow{EC} \). Тогда получаем \( \overrightarrow{ME} — \overrightarrow{MK} — \overrightarrow{EC} = \overrightarrow{KE} — \overrightarrow{EC} \). Это можно переписать как \( \overrightarrow{KE} + \overrightarrow{CE} \), что равно вектору \( \overrightarrow{KC} \).

Так как первый вектор равен \( \overrightarrow{CK} \), а второй — \( \overrightarrow{KC} \), и известно, что \( \overrightarrow{CK} = -\overrightarrow{KC} \), то эти два вектора противоположны по направлению. Значит, доказано, что \( \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} — \overrightarrow{KE} = -(\overrightarrow{MC} — \overrightarrow{MK} — \overrightarrow{EC}) \).