ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите сумму

\(\overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{B_1C_1} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB_1}\).

Дан параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \).

Сумма векторов:
\(\overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{B_1C_1} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB_1}\).

Используем свойства параллелепипеда и векторов:

\(\overrightarrow{A_1A} = -\overrightarrow{AA_1}\),
\(\overrightarrow{B_1C_1} = \overrightarrow{BC}\) (так как \(B_1C_1\) параллельна и равна \(BC\)),
\(\overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AA_1}\),
\(\overrightarrow{CB_1} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB_1} = -\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB_1}\).

Подставим и упростим:
\(\overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{DD_1} = -\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{0}\),
\(\overrightarrow{B_1C_1} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BC}\),
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB_1} = \overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB_1})\).

Суммируя всё, получаем:
\(2\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB_1}\).

Так как \(\overrightarrow{AB_1} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AB}\), и учитывая, что \(\overrightarrow{AA_1}\) уже сократился, итоговая сумма равна вектору \(\overrightarrow{AC_1}\).

Ответ: сумма равна \(\overrightarrow{AC_1}\).

Рассмотрим параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). В нем вершины \( A_1, B_1, C_1, D_1 \) — это точки, лежащие на ребрах, параллельных основанию \( ABCD \), и образующие верхнюю грань. Векторы, которые нужно сложить, представлены как \(\overrightarrow{A_1A}, \overrightarrow{B_1C_1}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{DD_1}, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CB_1}\).

Первое, что важно понять — векторы \(\overrightarrow{A_1A}\) и \(\overrightarrow{DD_1}\) направлены вдоль ребер параллелепипеда, соединяющих нижнее основание с верхним. Так как \( A_1 \) — верхняя точка над \( A \), то \(\overrightarrow{A_1A} = -\overrightarrow{AA_1}\), то есть вектор направлен вниз. Аналогично, \(\overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{DD_1}\) направлен вверх. Эти два вектора противоположны по направлению, но равны по длине, следовательно их сумма равна нулю: \(\overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{0}\).

Далее рассмотрим векторы \(\overrightarrow{B_1C_1}\) и \(\overrightarrow{BC}\). Поскольку \( B_1C_1 \) — ребро верхней грани, параллельное и равное по длине ребру \( BC \), то \(\overrightarrow{B_1C_1} = \overrightarrow{BC}\). Значит их сумма равна \( 2\overrightarrow{BC} \).

Теперь обратимся к вектору \(\overrightarrow{CB_1}\). Его можно разложить через точки основания и верхней грани: \(\overrightarrow{CB_1} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB_1}\). При этом \(\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}\), а \(\overrightarrow{AB_1} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AB}\). Подставим эти выражения: \(\overrightarrow{CB_1} = -\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AB}\).

Сложим все векторы:
\(\overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{B_1C_1} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB_1} = \overrightarrow{0} + 2\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AB})\).

Объединим подобные:
\(2\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1} = 2\overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1}\).

Вспомним, что в параллелепипеде \(\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AA_1}\). Перепишем сумму:
\(2\overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AA_1}) + (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} — \overrightarrow{AC})\).

Поскольку \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\), то \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} — \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}\). Значит сумма упрощается до \(\overrightarrow{AC_1}\).

Итог: сумма всех данных векторов равна вектору \(\overrightarrow{AC_1}\).