ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.19 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите сумму

\(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{A_1D_1} + \overrightarrow{CB}\).

Сумма векторов:

\(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{A_1D_1} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CD}\)

Таким образом, окончательный ответ:

\(\overrightarrow{CD}\)

Сумма векторов в параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) может быть найдена, если рассмотреть каждую из составляющих векторов и их геометрическое представление.

Векторы можно выразить через координаты вершин параллелепипеда. Пусть \(A\) имеет координаты \((0, 0, 0)\), \(B\) — \((a, 0, 0)\), \(C\) — \((a, b, 0)\), \(D\) — \((0, b, 0)\), \(A_1\) — \((0, 0, c)\), \(B_1\) — \((a, 0, c)\), \(C_1\) — \((a, b, c)\), \(D_1\) — \((0, b, c)\). Теперь вычислим каждый из векторов:

1. Вектор \(\overrightarrow{AC} = C — A = (a, b, 0) — (0, 0, 0) = (a, b, 0)\).
2. Вектор \(\overrightarrow{DC} = C — D = (a, b, 0) — (0, b, 0) = (a, 0, 0)\).
3. Вектор \(\overrightarrow{DA} = A — D = (0, 0, 0) — (0, b, 0) = (0, -b, 0)\).
4. Вектор \(\overrightarrow{BA} = A — B = (0, 0, 0) — (a, 0, 0) = (-a, 0, 0)\).
5. Вектор \(\overrightarrow{A_1D_1} = D_1 — A_1 = (0, b, c) — (0, 0, c) = (0, b, 0)\).
6. Вектор \(\overrightarrow{CB} = B — C = (a, 0, 0) — (a, b, 0) = (0, -b, 0)\).

Теперь сложим все эти векторы:

\(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{A_1D_1} + \overrightarrow{CB} = (a, b, 0) + (a, 0, 0) + (0, -b, 0) + (-a, 0, 0) + (0, b, 0) + (0, -b, 0)\).

Сложив компоненты по осям \(x\), \(y\) и \(z\), получаем:

— Компонента по \(x\): \(a + a + 0 — a + 0 + 0 = a\),
— Компонента по \(y\): \(b + 0 — b + 0 + b — b = 0\),
— Компонента по \(z\): \(0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0\).

Таким образом, итоговый вектор равен \((a, 0, 0)\), который соответствует вектору \(\overrightarrow{CD}\), так как \(C\) и \(D\) находятся на одной горизонтальной плоскости. Следовательно, сумма векторов равна \(\overrightarrow{CD}\).