ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.2 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите сумму векторов:

1) \(\overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{DD_1}\);

2) \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{C_1D_1}\).

Для куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \):

1) Сумма векторов \( \overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{DD_1} \):

\(\overrightarrow{A_1B_1} = \overrightarrow{AB_1}\),
\(\overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AD_1}\),
следовательно,
\(\overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{AD_1} = \overrightarrow{AB_1}\).

2) Сумма векторов \( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{C_1D_1} \):

\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD_1}\),
\(\overrightarrow{C_1D_1} = \overrightarrow{AD_1}\),
следовательно,
\(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{C_1D_1} = \overrightarrow{AD_1}\).

1) Рассмотрим сумму векторов \( \overrightarrow{A_1B_1} \) и \( \overrightarrow{DD_1} \) в кубе \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Вектор \( \overrightarrow{A_1B_1} \) соединяет вершины \( A_1 \) и \( B_1 \), которые лежат на верхней грани куба. Этот вектор параллелен ребру \( AB \) основания куба и имеет ту же длину, что и ребро куба. Вектор \( \overrightarrow{DD_1} \) направлен вертикально вверх от нижней вершины \( D \) к верхней вершине \( D_1 \), он параллелен ребру \( AA_1 \) и также равен длине ребра куба. При сложении этих двух векторов мы фактически перемещаемся сначала вдоль ребра основания, а затем вверх по вертикали. В результате сумма \( \overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{DD_1} \) направлена от точки \( D \) к точке \( B_1 \), то есть равна вектору \( \overrightarrow{DB_1} \). Однако в кубе точки \( D \), \( A \) и \( B_1 \) связаны так, что \( \overrightarrow{DB_1} = \overrightarrow{AB_1} \), поскольку \( D \) и \( A \) лежат на основании, а \( B_1 \) — на верхней грани, смещённой от \( B \) вверх. Поэтому итоговый вектор равен \( \overrightarrow{AB_1} \).

2) Рассмотрим сумму векторов \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{C_1D_1} \). Вектор \( \overrightarrow{AC} \) соединяет вершины основания куба \( A \) и \( C \), он направлен по диагонали основания и равен диагонали квадрата основания. Вектор \( \overrightarrow{C_1D_1} \) лежит на верхней грани куба и параллелен ребру основания \( CD \), соединяя вершины \( C_1 \) и \( D_1 \). При сложении этих векторов мы сначала перемещаемся по диагонали основания, а затем параллельно ребру верхней грани. В результате сумма \( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{C_1D_1} \) направлена от точки \( A \) к точке \( D_1 \), то есть равна вектору \( \overrightarrow{AD_1} \). Это объясняется тем, что \( \overrightarrow{AD_1} \) можно представить как сумму диагонали основания \( \overrightarrow{AC} \) и ребра верхней грани \( \overrightarrow{C_1D_1} \), так как вершина \( D_1 \) расположена над вершиной \( D \), а \( D \) находится на конце диагонали основания от \( A \).

3) Таким образом, векторы \( \overrightarrow{A_1B_1} \) и \( \overrightarrow{DD_1} \), а также \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{C_1D_1} \), при сложении дают векторы, направленные соответственно вдоль ребра и диагонали куба, соединяющие нижние и верхние вершины. Итоговые векторы можно записать как \( \overrightarrow{AB_1} \) и \( \overrightarrow{AD_1} \), что соответствует сумме перемещений по ребрам куба в трёхмерном пространстве. Это наглядно демонстрирует свойства векторного сложения и геометрическую структуру куба, где вершины и ребра связаны взаимно однозначными векторными отношениями.