ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите вектор, равный \(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{B_1C} — \overrightarrow{C_1D_1}\).

Рассмотрим векторы:

1. Вектор \(\overrightarrow{AA_1} = (0, 0, a)\).
2. Вектор \(\overrightarrow{B_1C} = (0, a, -a)\).
3. Вектор \(\overrightarrow{C_1D_1} = (-a, 0, 0)\).

Сложим векторы:

\(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{B_1C} — \overrightarrow{C_1D_1} = (0, 0, a) + (0, a, -a) — (-a, 0, 0) = (a, a, 0)\).

Теперь найдем:

\(\overrightarrow{B_1C_1} = (0, a, 0)\) и \(\overrightarrow{C_1D_1} = (-a, 0, 0)\).

Проверим:

\(\overrightarrow{B_1C_1} — \overrightarrow{C_1D_1} = (0, a, 0) — (-a, 0, 0) = (a, a, 0)\).

Ответ: \((a, a, 0)\).

Рассмотрим куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с длиной ребра \(a\). Вершины куба можно задать следующими координатами: \(A(0, 0, 0)\), \(B(a, 0, 0)\), \(C(a, a, 0)\), \(D(0, a, 0)\), \(A_1(0, 0, a)\), \(B_1(a, 0, a)\), \(C_1(a, a, a)\), \(D_1(0, a, a)\).

Для нахождения векторов, начнем с \(\overrightarrow{AA_1}\). Этот вектор представляет собой перемещение от точки \(A\) до точки \(A_1\), что дает: \(\overrightarrow{AA_1} = A_1 — A = (0, 0, a) — (0, 0, 0) = (0, 0, a)\). Далее, вектор \(\overrightarrow{B_1C}\) вычисляется как разность координат точки \(C\) и точки \(B_1\): \(\overrightarrow{B_1C} = C — B_1 = (a, a, 0) — (a, 0, a) = (0, a, -a)\). Наконец, вектор \(\overrightarrow{C_1D_1}\) определяется как: \(\overrightarrow{C_1D_1} = D_1 — C_1 = (0, a, a) — (a, a, a) = (-a, 0, 0)\).

Теперь сложим векторы: \(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{B_1C} — \overrightarrow{C_1D_1} = (0, 0, a) + (0, a, -a) — (-a, 0, 0)\). Раскроем скобки и произведем сложение: \((0 + 0 + a, 0 + a + 0, a — a + 0) = (a, a, 0)\).

Для проверки равенства, найдем векторы \(\overrightarrow{B_1C_1}\) и \(\overrightarrow{C_1D_1}\). Вектор \(\overrightarrow{B_1C_1}\) вычисляется как: \(\overrightarrow{B_1C_1} = C_1 — B_1 = (a, a, a) — (a, 0, a) = (0, a, 0)\). Вектор \(\overrightarrow{C_1D_1}\) определяется так: \(\overrightarrow{C_1D_1} = D_1 — C_1 = (0, a, a) — (a, a, a) = (-a, 0, 0)\). Теперь проверим: \(\overrightarrow{B_1C_1} — \overrightarrow{C_1D_1} = (0, a, 0) — (-a, 0, 0) = (a, a, 0)\).

Таким образом, мы видим, что \(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{B_1C} — \overrightarrow{C_1D_1} = (a, a, 0)\), что совпадает с \(\overrightarrow{B_1C_1} — \overrightarrow{C_1D_1}\). Ответ: \((a, a, 0)\).