ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите вектор, равный \(\overrightarrow{AA_1} — \overrightarrow{DC_1} + \overrightarrow{BC}\).

\(\overrightarrow{AA_1} — \overrightarrow{DC_1} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD}\)

Рассмотрим куб с вершинами \(A,B,C,D\) нижней грани и \(A_1,B_1,C_1,D_1\) верхней. Имеем:

1. \(\overrightarrow{DC_1} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CC_1}\).
Но \(\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AA_1}\), поэтому
\[\overrightarrow{DC_1} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AA_1}.\]

2. Тогда
\[
\overrightarrow{AA_1} — \overrightarrow{DC_1} + \overrightarrow{BC}
= \overrightarrow{AA_1} — (\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AA_1}) + \overrightarrow{BC}
= \overrightarrow{BC} — \overrightarrow{DC}.
\]

3. Заметим, что
\[
\overrightarrow{BC} — \overrightarrow{DC}
= (\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}) — (\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD})
= \overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}
= \overrightarrow{BD}.
\]

Ответ:
\[
\overrightarrow{AA_1} — \overrightarrow{DC_1} + \overrightarrow{BC}
= \overrightarrow{BD}.
\]