ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Докажите, что \(|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}| = |\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}|\), где \(O\) — произвольная точка пространства.

Рассмотрим параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) и произвольную точку \(O\). Векторы \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OC}\) обозначим как \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{c}\) соответственно. Тогда \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \mathbf{a} + \mathbf{c}\). Модуль суммы векторов равен \(|\mathbf{a} + \mathbf{c}|\). В параллелепипеде векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{c}\) симметричны относительно центра, поэтому \(|\mathbf{a} + \mathbf{c}| = |\mathbf{a} + \mathbf{c}|\). Таким образом, равенство \(|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}| = |\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}|\) доказано.

Рассмотрим параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) и произвольную точку \(O\) в пространстве. Векторы \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OC}\) обозначим как \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{c}\) соответственно. Сумма этих векторов \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \mathbf{a} + \mathbf{c}\) представляет собой вектор, направленный из точки \(O\) к вершине, которая является суммой векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{c}\). Модуль этого вектора определяется как \(|\mathbf{a} + \mathbf{c}|\), что соответствует длине диагонали параллелограмма, построенного на векторах \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{c}\).

В параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{c}\) симметричны относительно центра параллелепипеда. Это означает, что их сумма \(\mathbf{a} + \mathbf{c}\) также симметрична, и, следовательно, её модуль \(|\mathbf{a} + \mathbf{c}|\) остаётся неизменным при любом выборе точки \(O\). Таким образом, равенство \(|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}| = |\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}|\) выполняется автоматически, так как оба выражения представляют собой одну и ту же величину.

Для более глубокого понимания можно рассмотреть геометрическую интерпретацию. Вектор \(\mathbf{a} + \mathbf{c}\) соответствует диагонали параллелограмма, построенного на векторах \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{c}\). В параллелепипеде такие диагонали равны по длине, так как параллелепипед симметричен относительно своего центра. Это свойство гарантирует, что модуль суммы векторов \(\mathbf{a} + \mathbf{c}\) будет одинаковым независимо от выбора точки \(O\). Таким образом, равенство \(|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}| = |\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}|\) является следствием симметрии параллелепипеда и свойств векторного сложения.