ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.24 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной пирамиды \(MABCD\) равна 2 см. Найдите модуль вектора \(\overrightarrow{m} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AD} — \overrightarrow{BM}\).

Сторона основания правильной пирамиды \(MABCD\) равна 2 см. Вектор \(\overrightarrow{m} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AD} — \overrightarrow{BM}\). Координаты точек: \(A = (0, 0, 0)\), \(B = (2, 0, 0)\), \(D = (0, 2, 0)\), \(M = (1, 1, h)\). Векторы: \(\overrightarrow{AM} = (1, 1, h)\), \(\overrightarrow{AD} = (0, 2, 0)\), \(\overrightarrow{BM} = (-1, 1, h)\).

Вектор \(\overrightarrow{m} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AD} — \overrightarrow{BM} = (1, 1, h) + (0, 2, 0) — (-1, 1, h) = (2, 2, 0)\).

Модуль вектора \(\overrightarrow{m}\): \(|\overrightarrow{m}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).

Сторона основания правильной пирамиды \(MABCD\) равна 2 см. Для нахождения модуля вектора \(\overrightarrow{m} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AD} — \overrightarrow{BM}\), рассмотрим координаты точек. Пусть основание пирамиды лежит в плоскости \(xy\), а вершина \(M\) находится на оси \(z\). Тогда координаты точек можно задать следующим образом: \(A = (0, 0, 0)\), \(B = (2, 0, 0)\), \(D = (0, 2, 0)\), а вершина \(M = (1, 1, h)\), где \(h\) — высота пирамиды. Векторы, участвующие в выражении, вычисляются как \(\overrightarrow{AM} = M — A = (1, 1, h)\), \(\overrightarrow{AD} = D — A = (0, 2, 0)\), \(\overrightarrow{BM} = M — B = (-1, 1, h)\).

Теперь вычислим вектор \(\overrightarrow{m}\). Сложим векторы \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{AD}\), а затем вычтем вектор \(\overrightarrow{BM}\): \(\overrightarrow{m} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AD} — \overrightarrow{BM} = (1, 1, h) + (0, 2, 0) — (-1, 1, h)\). После выполнения операций получим \(\overrightarrow{m} = (1 + 0 + 1, 1 + 2 — 1, h + 0 — h) = (2, 2, 0)\).

Для нахождения модуля вектора \(\overrightarrow{m}\) используем формулу для вычисления длины вектора в трехмерном пространстве: \(|\overrightarrow{m}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). Таким образом, модуль вектора \(\overrightarrow{m}\) равен \(2\sqrt{2}\) см. Этот результат подтверждает, что вектор \(\overrightarrow{m}\) лежит в плоскости основания пирамиды и его длина зависит только от координат точек основания, а не от высоты пирамиды.