ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.25 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) равна 4 см. Точка \(D\) — середина ребра \(AB\). Найдите модуль вектора \(\vec{a} = \overrightarrow{B_1B} — \overrightarrow{DA} — \overrightarrow{A_1C}\).

Сторона основания правильной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) равна 4 см. Точка \(D\) — середина ребра \(AB\). Вектор \(\vec{a} = \overrightarrow{B_1B} — \overrightarrow{DA} — \overrightarrow{A_1C}\). Координаты точек: \(A(0, 0, 0)\), \(B(4, 0, 0)\), \(C(2, 2\sqrt{3}, 0)\), \(A_1(0, 0, h)\), \(B_1(4, 0, h)\), \(C_1(2, 2\sqrt{3}, h)\), \(D(2, 0, 0)\).

Векторы: \(\overrightarrow{B_1B} = (0, 0, -h)\), \(\overrightarrow{DA} = (-2, 0, 0)\), \(\overrightarrow{A_1C} = (2, 2\sqrt{3}, -h)\). Вектор \(\vec{a} = (0, 0, -h) — (-2, 0, 0) — (2, 2\sqrt{3}, -h) = (0, -2\sqrt{3}, 0)\). Модуль вектора \(\vec{a}\): \(|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + (-2\sqrt{3})^2 + 0^2} = 2\sqrt{3}\) см.

Сторона основания правильной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) равна 4 см. Точка \(D\) — середина ребра \(AB\). Вектор \(\vec{a} = \overrightarrow{B_1B} — \overrightarrow{DA} — \overrightarrow{A_1C}\). Для начала определим координаты всех точек. Пусть точка \(A\) имеет координаты \((0, 0, 0)\). Тогда точка \(B\) будет \((4, 0, 0)\), так как сторона основания равна 4 см. Точка \(C\) будет \((2, 2\sqrt{3}, 0)\), так как это правильная треугольная призма. Точка \(A_1\) будет \((0, 0, h)\), где \(h\) — высота призмы. Точка \(B_1\) будет \((4, 0, h)\), а точка \(C_1\) — \((2, 2\sqrt{3}, h)\). Точка \(D\) — середина ребра \(AB\), поэтому её координаты \((2, 0, 0)\).

Теперь найдем векторы, участвующие в выражении для \(\vec{a}\). Вектор \(\overrightarrow{B_1B}\) вычисляется как разность координат точек \(B\) и \(B_1\): \(\overrightarrow{B_1B} = B — B_1 = (4, 0, 0) — (4, 0, h) = (0, 0, -h)\). Вектор \(\overrightarrow{DA}\) вычисляется как разность координат точек \(A\) и \(D\): \(\overrightarrow{DA} = A — D = (0, 0, 0) — (2, 0, 0) = (-2, 0, 0)\). Вектор \(\overrightarrow{A_1C}\) вычисляется как разность координат точек \(C\) и \(A_1\): \(\overrightarrow{A_1C} = C — A_1 = (2, 2\sqrt{3}, 0) — (0, 0, h) = (2, 2\sqrt{3}, -h)\).

Теперь вычислим вектор \(\vec{a}\) по формуле \(\vec{a} = \overrightarrow{B_1B} — \overrightarrow{DA} — \overrightarrow{A_1C}\). Подставляем найденные векторы: \(\vec{a} = (0, 0, -h) — (-2, 0, 0) — (2, 2\sqrt{3}, -h)\). Выполняем поэлементное вычитание: \(\vec{a} = (0 + 2 — 2, 0 — 0 — 2\sqrt{3}, -h — 0 + h) = (0, -2\sqrt{3}, 0)\).

Наконец, найдем модуль вектора \(\vec{a}\). Модуль вектора вычисляется по формуле \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), где \(x\), \(y\), \(z\) — компоненты вектора. Подставляем компоненты вектора \(\vec{a}\): \(|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + (-2\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) см. Таким образом, модуль вектора \(\vec{a}\) равен \(2\sqrt{3}\) см.