ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.26 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите координаты точки \(A\) такой, что \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \vec{0}\), если \(B (4; -2; 12)\), \(C (3; -1; 4)\).

Координаты точки \(A\) такие, что \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \vec{0}\), где \(B (4; -2; 12)\), \(C (3; -1; 4)\). Векторы \(\overrightarrow{AB} = (4 — x; -2 — y; 12 — z)\) и \(\overrightarrow{AC} = (3 — x; -1 — y; 4 — z)\). Их сумма равна \((7 — 2x; -3 — 2y; 16 — 2z)\). Приравниваем к нулю: \(7 — 2x = 0\), \(-3 — 2y = 0\), \(16 — 2z = 0\). Решаем: \(x = 3.5\), \(y = -1.5\), \(z = 8\). Таким образом, \(A (3.5; -1.5; 8)\).

Координаты точки \(A\) находятся из условия \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \vec{0}\), где \(B (4; -2; 12)\) и \(C (3; -1; 4)\). Вектор \(\overrightarrow{AB}\) определяется как разность координат точек \(B\) и \(A\), то есть \(\overrightarrow{AB} = (4 — x; -2 — y; 12 — z)\). Аналогично, вектор \(\overrightarrow{AC} = (3 — x; -1 — y; 4 — z)\). Сумма этих векторов равна \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = (4 — x + 3 — x; -2 — y + (-1) — y; 12 — z + 4 — z)\), что упрощается до \((7 — 2x; -3 — 2y; 16 — 2z)\). По условию, эта сумма должна быть равна нулевому вектору, то есть \((7 — 2x; -3 — 2y; 16 — 2z) = (0; 0; 0)\). Это приводит к системе уравнений: \(7 — 2x = 0\), \(-3 — 2y = 0\), \(16 — 2z = 0\). Решая первое уравнение, получаем \(x = \frac{7}{2} = 3.5\). Второе уравнение даёт \(y = \frac{-3}{2} = -1.5\). Третье уравнение решается как \(z = \frac{16}{2} = 8\). Таким образом, координаты точки \(A\) равны \(A (3.5; -1.5; 8)\).

Для более глубокого понимания рассмотрим геометрический смысл задачи. Условие \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \vec{0}\) означает, что сумма векторов, направленных из точки \(A\) к точкам \(B\) и \(C\), равна нулю. Это возможно только в том случае, если точка \(A\) является серединой отрезка, соединяющего точки \(B\) и \(C\). Однако в данном случае это не так, поскольку координаты \(A\) не совпадают с серединой отрезка \(BC\). Тем не менее, решение задачи показывает, что такая точка \(A\) существует и её координаты вычисляются через систему линейных уравнений.

Математически задача сводится к нахождению точки \(A\), которая удовлетворяет условию равенства суммы векторов нулю. Это типичная задача линейной алгебры, где требуется решить систему уравнений. В данном случае система состоит из трёх уравнений с тремя неизвестными, что позволяет однозначно определить координаты точки \(A\). Решение системы уравнений показывает, что \(x = 3.5\), \(y = -1.5\), \(z = 8\), что и даёт искомые координаты точки \(A\).