ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите координаты точки \(M\) такой, что \(\overrightarrow{CM} — \overrightarrow{MD} = \vec{0}\), если \(C (1; -5; 3)\), \(D (-2; 0; 6)\).

Для нахождения координат точки \(M (x; y; z)\) такой, что \(\overrightarrow{CM} — \overrightarrow{MD} = \vec{0}\), выразим векторы \(\overrightarrow{CM}\) и \(\overrightarrow{MD}\): \(\overrightarrow{CM} = (x — 1, y + 5, z — 3)\), \(\overrightarrow{MD} = (-2 — x, 0 — y, 6 — z)\).

Составим уравнение \(\overrightarrow{CM} — \overrightarrow{MD} = \vec{0}\): \((x — 1) — (-2 — x) = 0\), \((y + 5) — (0 — y) = 0\), \((z — 3) — (6 — z) = 0\).

Решим уравнения: для \(x\) получаем \(x — 1 + 2 + x = 0 \Rightarrow 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -0.5\), для \(y\) получаем \(y + 5 + y = 0 \Rightarrow 2y + 5 = 0 \Rightarrow y = -2.5\), для \(z\) получаем \(z — 3 — 6 + z = 0 \Rightarrow 2z — 9 = 0 \Rightarrow z = 4.5\).

Итоговые координаты точки \(M\): \(M (-0.5; -2.5; 4.5)\).

Для нахождения координат точки \(M (x; y; z)\) такой, что \(\overrightarrow{CM} — \overrightarrow{MD} = \vec{0}\), необходимо выразить векторы \(\overrightarrow{CM}\) и \(\overrightarrow{MD}\) через координаты точек \(C\) и \(D\). Вектор \(\overrightarrow{CM}\) вычисляется как разность координат точки \(M\) и точки \(C\), то есть \(\overrightarrow{CM} = (x — 1, y + 5, z — 3)\). Аналогично, вектор \(\overrightarrow{MD}\) определяется как разность координат точки \(D\) и точки \(M\), то есть \(\overrightarrow{MD} = (-2 — x, 0 — y, 6 — z)\).

Далее, подставляем выражения для векторов \(\overrightarrow{CM}\) и \(\overrightarrow{MD}\) в уравнение \(\overrightarrow{CM} — \overrightarrow{MD} = \vec{0}\). Это дает нам систему уравнений для каждой координаты: \((x — 1) — (-2 — x) = 0\), \((y + 5) — (0 — y) = 0\), \((z — 3) — (6 — z) = 0\). Решая первое уравнение, получаем \(x — 1 + 2 + x = 0\), что упрощается до \(2x + 1 = 0\), откуда \(x = -0.5\). Второе уравнение \(y + 5 + y = 0\) преобразуется в \(2y + 5 = 0\), что дает \(y = -2.5\). Третье уравнение \(z — 3 — 6 + z = 0\) сводится к \(2z — 9 = 0\), откуда \(z = 4.5\).

Таким образом, координаты точки \(M\) равны \(M (-0.5; -2.5; 4.5)\). Этот результат полностью соответствует условию задачи, так как разность векторов \(\overrightarrow{CM}\) и \(\overrightarrow{MD}\) действительно равна нулевому вектору, что подтверждает правильность найденных координат.