ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.28 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\). Докажите, что

\(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CA_1}\).

Даны треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\). Докажем равенство \(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CA_1}\).

Выразим векторы через координаты точек: \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{A}\), \(\overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{B}\), \(\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{C}\). Тогда левая часть равенства: \(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} = (\overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{B}) + (\overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{C})\).

Для правой части: \(\overrightarrow{AB_1} = \overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{A}\), \(\overrightarrow{BC_1} = \overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{B}\), \(\overrightarrow{CA_1} = \overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{C}\). Тогда правая часть: \(\overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CA_1} = (\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{B}) + (\overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{C})\).

Обе части равны, так как состоят из одинаковых слагаемых, но в разном порядке. Таким образом, равенство доказано: \(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CA_1}\).

Даны треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\). Требуется доказать равенство \(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CA_1}\). Для начала выразим векторы через координаты точек. Вектор \(\overrightarrow{AA_1}\) можно представить как разность координат точек \(A_1\) и \(A\), то есть \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{A}\). Аналогично, \(\overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{B}\) и \(\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{C}\). Подставим эти выражения в левую часть равенства: \(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} = (\overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{B}) + (\overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{C})\).

Теперь рассмотрим правую часть равенства. Вектор \(\overrightarrow{AB_1}\) можно выразить как \(\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{A}\), \(\overrightarrow{BC_1}\) как \(\overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{B}\), а \(\overrightarrow{CA_1}\) как \(\overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{C}\). Подставим эти выражения в правую часть: \(\overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CA_1} = (\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{B}) + (\overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{C})\).

Обе части равенства состоят из одних и тех же слагаемых, но в разном порядке. В левой части мы имеем \(\overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{C}\), а в правой части \(\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{A} + \overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{B} + \overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{C}\). Видно, что слагаемые в обеих частях совпадают, но их порядок отличается. Это означает, что левая и правая части равны друг другу. Таким образом, равенство \(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CA_1}\) доказано.