ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.29 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны четырёхугольники \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\). Докажите, что

\(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{DA_1}\).

Рассмотрим четырёхугольники \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\). Разложим векторы:
\(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{A}\),
\(\overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{B}\),
\(\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{C}\),
\(\overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{D_1} — \overrightarrow{D}\).

Сложим их:
\(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{DD_1} = (\overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{B_1} + \overrightarrow{C_1} + \overrightarrow{D_1}) — (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D})\).

Аналогично для правой части:
\(\overrightarrow{AB_1} = \overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{A}\),
\(\overrightarrow{BC_1} = \overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{B}\),
\(\overrightarrow{CD_1} = \overrightarrow{D_1} — \overrightarrow{C}\),
\(\overrightarrow{DA_1} = \overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{D}\).

Сложим их:
\(\overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{DA_1} = (\overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{B_1} + \overrightarrow{C_1} + \overrightarrow{D_1}) — (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D})\).

Таким образом, обе части равны, что и требовалось доказать.

Рассмотрим два четырёхугольника \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\). Для доказательства равенства \(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{DA_1}\) начнём с разложения векторов. Каждый вектор можно выразить через координаты точек. Например, \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{A}\), где \(\overrightarrow{A}\) и \(\overrightarrow{A_1}\) — радиус-векторы точек \(A\) и \(A_1\) соответственно. Аналогично, \(\overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{B}\), \(\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{C}\), \(\overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{D_1} — \overrightarrow{D}\). Сложив эти векторы, получим \(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{DD_1} = (\overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{B_1} + \overrightarrow{C_1} + \overrightarrow{D_1}) — (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D})\).

Теперь рассмотрим правую часть равенства. Векторы \(\overrightarrow{AB_1}\), \(\overrightarrow{BC_1}\), \(\overrightarrow{CD_1}\), \(\overrightarrow{DA_1}\) также можно разложить: \(\overrightarrow{AB_1} = \overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{A}\), \(\overrightarrow{BC_1} = \overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{B}\), \(\overrightarrow{CD_1} = \overrightarrow{D_1} — \overrightarrow{C}\), \(\overrightarrow{DA_1} = \overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{D}\). Сложив их, получим \(\overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{DA_1} = (\overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{B_1} + \overrightarrow{C_1} + \overrightarrow{D_1}) — (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D})\).

Таким образом, обе части равенства сводятся к одному и тому же выражению: \((\overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{B_1} + \overrightarrow{C_1} + \overrightarrow{D_1}) — (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D})\). Это означает, что исходное равенство \(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{DA_1}\) верно. Данное доказательство основано на линейных свойствах векторов и их алгебраической структуре, что позволяет упрощать и сравнивать сложные выражения.