ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.3 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 3.11). Найдите сумму

\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{B_1C_1}\).

Дано: \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{B_1C_1} \).

Перегруппируем: \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DD_1} \), так как \( \overrightarrow{B_1C_1} = \overrightarrow{BC} \).

Сложим первые три вектора основания: \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} \).

Добавим последний вектор: \( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AD_1} \).

Ответ: \( \overrightarrow{AD_1} \).

Рассмотрим сумму векторов \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{B_1C_1} \) в параллелепипеде \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Сначала заметим, что вектор \( \overrightarrow{B_1C_1} \) параллелен и равен по длине вектору \( \overrightarrow{BC} \), так как \( B_1C_1 \) — верхнее ребро, соответствующее основанию \( BC \). Значит, можно заменить \( \overrightarrow{B_1C_1} \) на \( \overrightarrow{BC} \), и сумма примет вид \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} \).

Теперь сгруппируем векторы основания параллелепипеда. Векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{BC} \) идут по смежным ребрам основания и их сумма равна вектору \( \overrightarrow{AC} \), так как движение от точки \( A \) к \( B \), а затем от \( B \) к \( C \) эквивалентно движению напрямую от \( A \) к \( C \). Таким образом, сумма первых двух векторов основания: \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \).

Далее добавляем к \( \overrightarrow{AC} \) вектор \( \overrightarrow{CD} \), который направлен от точки \( C \) к \( D \). Сумма \( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} \) равна вектору \( \overrightarrow{AD} \), так как это движение от \( A \) к \( C \), затем от \( C \) к \( D \), что эквивалентно прямому перемещению от \( A \) к \( D \). Теперь остается добавить вектор \( \overrightarrow{DD_1} \), который направлен вертикально вверх от \( D \) к \( D_1 \). Итоговая сумма всех векторов равна \( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AD_1} \), что соответствует перемещению от точки \( A \) к точке \( D_1 \).

Ответ: \( \overrightarrow{AD_1} \).