ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.30 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Выразите вектор \(\overrightarrow{AA_1}\) через векторы \(\overrightarrow{B_1A}\), \(\overrightarrow{B_1C}\) и \(\overrightarrow{B_1D}\).

Вектор \(\overrightarrow{AA_1}\) выражается через векторы \(\overrightarrow{B_1A}\), \(\overrightarrow{B_1C}\) и \(\overrightarrow{B_1D}\) следующим образом: \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{B_1A} — \overrightarrow{B_1C} + \overrightarrow{B_1D}\). Это следует из того, что \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{B_1A} — \overrightarrow{B_1A_1}\), а \(\overrightarrow{B_1A_1} = \overrightarrow{B_1C} — \overrightarrow{B_1D}\). Подставляя, получаем искомое выражение.

Вектор \(\overrightarrow{AA_1}\) выражается через векторы \(\overrightarrow{B_1A}\), \(\overrightarrow{B_1C}\) и \(\overrightarrow{B_1D}\) следующим образом: \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{B_1A} — \overrightarrow{B_1C} + \overrightarrow{B_1D}\). Это вытекает из геометрических свойств векторов и их линейной комбинации. Вектор \(\overrightarrow{AA_1}\) можно представить как разность векторов \(\overrightarrow{B_1A}\) и \(\overrightarrow{B_1A_1}\), где \(\overrightarrow{B_1A_1}\) является вектором, соединяющим точки \(B_1\) и \(A_1\).

Далее, вектор \(\overrightarrow{B_1A_1}\) можно выразить через разность векторов \(\overrightarrow{B_1C}\) и \(\overrightarrow{B_1D}\), так как точка \(A_1\) лежит на пересечении прямых, определяемых этими векторами. Таким образом, \(\overrightarrow{B_1A_1} = \overrightarrow{B_1C} — \overrightarrow{B_1D}\). Подставляя это выражение в формулу для \(\overrightarrow{AA_1}\), получаем \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{B_1A} — (\overrightarrow{B_1C} — \overrightarrow{B_1D})\), что после раскрытия скобок дает \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{B_1A} — \overrightarrow{B_1C} + \overrightarrow{B_1D}\).

Этот результат демонстрирует, как линейные комбинации векторов могут быть использованы для выражения одного вектора через другие в трехмерном пространстве. Такие выражения часто применяются в геометрии и физике для решения задач, связанных с векторными операциями. Формула \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{B_1A} — \overrightarrow{B_1C} + \overrightarrow{B_1D}\) является ключевой для понимания взаимосвязи между данными векторами и их геометрической интерпретации.