ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.32 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны векторы \(\vec{a} (2; -1; 4)\), \(\vec{b} (0; -3; 6)\) и \(\vec{c} (1; y; 5)\). Какое наименьшее значение принимает модуль вектора \(\vec{a} + \vec{b} — \vec{c}\) и при каком значении \(y\)?

Даны векторы \(\vec{a} (2; -1; 4)\), \(\vec{b} (0; -3; 6)\) и \(\vec{c} (1; y; 5)\). Найдем вектор \(\vec{a} + \vec{b} — \vec{c}\):
\(\vec{a} + \vec{b} — \vec{c} = (2 + 0 — 1; -1 — 3 — y; 4 + 6 — 5) = (1; -4 — y; 5)\).

Модуль вектора:
\(|\vec{a} + \vec{b} — \vec{c}| = \sqrt{1^2 + (-4 — y)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + (y + 4)^2 + 25}\).

Минимизируем выражение под корнем:
\(f(y) = (y + 4)^2 + 26\). Минимум достигается при \(y = -4\).

Подставляем \(y = -4\) в модуль:
\(|\vec{a} + \vec{b} — \vec{c}| = \sqrt{1 + 0 + 25} = \sqrt{26}\).

Ответ: наименьшее значение модуля равно \(\sqrt{26}\), достигается при \(y = -4\).

Даны векторы \(\vec{a} (2; -1; 4)\), \(\vec{b} (0; -3; 6)\) и \(\vec{c} (1; y; 5)\). Найдем вектор \(\vec{a} + \vec{b} — \vec{c}\) поэтапно. Сначала сложим векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \(\vec{a} + \vec{b} = (2 + 0; -1 — 3; 4 + 6) = (2; -4; 10)\). Затем вычтем вектор \(\vec{c}\): \(\vec{a} + \vec{b} — \vec{c} = (2 — 1; -4 — y; 10 — 5) = (1; -4 — y; 5)\). Таким образом, результирующий вектор имеет координаты \((1; -4 — y; 5)\).

Модуль вектора \(\vec{a} + \vec{b} — \vec{c}\) вычисляется по формуле длины вектора в трехмерном пространстве: \(|\vec{a} + \vec{b} — \vec{c}| = \sqrt{1^2 + (-4 — y)^2 + 5^2}\). Раскроем квадраты: \(1^2 = 1\), \((-4 — y)^2 = (y + 4)^2\), \(5^2 = 25\). Подставим эти значения: \(|\vec{a} + \vec{b} — \vec{c}| = \sqrt{1 + (y + 4)^2 + 25} = \sqrt{(y + 4)^2 + 26}\).

Чтобы найти минимальное значение модуля, минимизируем выражение под корнем: \(f(y) = (y + 4)^2 + 26\). Минимум квадратичной функции \(f(y)\) достигается при \(y + 4 = 0\), то есть при \(y = -4\). Подставим это значение в выражение для модуля: \(|\vec{a} + \vec{b} — \vec{c}| = \sqrt{1 + (-4 + 4)^2 + 25} = \sqrt{1 + 0 + 25} = \sqrt{26}\). Таким образом, наименьшее значение модуля равно \(\sqrt{26}\), и оно достигается при \(y = -4\).