ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.33 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны векторы \(\vec{m} (6; -2; 2)\), \(\vec{n} (x; 1; 2)\) и \(\vec{k} (3; -4; -7)\). Какое наименьшее значение принимает модуль вектора \(\vec{m} — \vec{n} — \vec{k}\) и при каких значениях \(x\) и \(z\)?

Даны векторы \(\vec{m} = (6; -2; 2)\), \(\vec{n} = (x; 1; 2)\), \(\vec{k} = (3; -4; -7)\). Найдем вектор \(\vec{m} — \vec{n} — \vec{k}\): \((6 — x — 3, -2 — 1 — (-4), 2 — 2 — (-7)) = (3 — x, 1, 7)\). Модуль вектора равен \(\sqrt{(3 — x)^2 + 1^2 + 7^2} = \sqrt{(3 — x)^2 + 50}\). Минимальное значение достигается при \(x = 3\), тогда модуль равен \(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\). Ответ: \(5\sqrt{2}\) при \(x = 3\).

Даны векторы \(\vec{m} = (6; -2; 2)\), \(\vec{n} = (x; 1; 2)\), \(\vec{k} = (3; -4; -7)\). Для нахождения вектора \(\vec{m} — \vec{n} — \vec{k}\) вычитаем соответствующие компоненты векторов: \((6 — x — 3, -2 — 1 — (-4), 2 — 2 — (-7)) = (3 — x, 1, 7)\). Это означает, что каждая координата результирующего вектора вычисляется отдельно: первая координата равна \(6 — x — 3 = 3 — x\), вторая координата равна \(-2 — 1 — (-4) = 1\), а третья координата равна \(2 — 2 — (-7) = 7\).

Модуль вектора \(\vec{m} — \vec{n} — \vec{k}\) вычисляется по формуле длины вектора в трехмерном пространстве: \(\sqrt{(3 — x)^2 + 1^2 + 7^2}\). Подставляя значения координат, получаем \(\sqrt{(3 — x)^2 + 1 + 49} = \sqrt{(3 — x)^2 + 50}\). Здесь \((3 — x)^2\) представляет собой квадрат разности между \(3\) и \(x\), а \(1\) и \(49\) — квадраты соответствующих координат вектора. Таким образом, выражение под корнем состоит из суммы квадратов координат вектора.

Минимальное значение модуля вектора достигается, когда \((3 — x)^2\) принимает наименьшее возможное значение, то есть равно нулю. Это происходит при \(x = 3\). Подставляя \(x = 3\) в выражение для модуля, получаем \(\sqrt{0 + 50} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\). Таким образом, наименьшее значение модуля вектора \(\vec{m} — \vec{n} — \vec{k}\) равно \(5\sqrt{2}\), и оно достигается при \(x = 3\). Значение \(z\) не влияет на результат, так как оно не участвует в вычислениях.