ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.34 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Одно из оснований прямоугольной трапеции на 7 см меньше другого, а большая боковая сторона равна 25 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ делит прямой угол трапеции пополам.

Пусть основания трапеции \(x\) и \(x+7\), а высота \(h\). По условию меньшая диагональ делит прямой угол пополам, значит, угол при основании \(90^\circ\), и диагональ делит его на два по \(45^\circ\). Значит, \(x = h\).

По теореме Пифагора для треугольника с гипотенузой \(25\) и катетами \(h\) и \(x+7-h\): \((x+7-h)^2 + h^2 = 25^2\). Подставляем \(x = h\): \(7^2 + h^2 = 625\), \(h^2 = 576\), \(h = 24\).

Тогда основания \(24\) и \(31\).

Площадь трапеции: \(S = \frac{24+31}{2} \cdot 24 = \frac{55}{2} \cdot 24 = 660\) \((см^2)\)

Пусть основания прямоугольной трапеции равны \(x\) и \(x+7\), где \(x\) — меньшее основание, а \(x+7\) — большее. Пусть высота трапеции равна \(h\). По условию, большая боковая сторона равна \(25\) см. Прямой угол в трапеции делится диагональю пополам, значит, угол при основании равен \(90^\circ\), а диагональ делит его на два угла по \(45^\circ\). Следовательно, в прямоугольном треугольнике, образованном высотой и меньшим основанием, катеты равны, то есть \(x = h\).

Рассмотрим треугольник, в котором гипотенуза — большая боковая сторона \(25\), один катет — высота \(h\), а другой катет — разность между большим основанием и высотой, то есть \((x+7) — h = 7\). Применяя теорему Пифагора, получаем: \(7^{2} + h^{2} = 25^{2}\). Подставляя значения, имеем: \(49 + h^{2} = 625\). Решая это уравнение, получаем \(h^{2} = 625 — 49 = 576\), откуда \(h = 24\). Так как \(x = h\), то \(x = 24\), а большее основание \(x+7 = 31\).

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \(S = \frac{(x + x+7)}{2} \cdot h\). Подставляя найденные значения, получаем: \(S = \frac{24 + 31}{2} \cdot 24 = \frac{55}{2} \cdot 24 = 27{,}5 \cdot 24 = 660\) \((см^{2})\). Таким образом, площадь данной трапеции составляет \(660\) квадратных сантиметров.