ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.35 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Хорды \(AB\) и \(AC\) окружности перпендикулярны, \(AB = 12\) см, \(AC = 16\) см. Найдите расстояние от точки \(A\) до прямой \(BC\).

Хорды \(AB\) и \(AC\) перпендикулярны, \(AB = 12\) см, \(AC = 16\) см. Точка пересечения хорд \(O\). Используем теорему Пифагора для треугольников \(AOB\) и \(AOC\):

\(AO^2 + OB^2 = 144\), \(AO^2 + OC^2 = 256\). Вычитаем первое уравнение из второго: \(OC^2 — OB^2 = 112\). Пусть \(OB = x\), тогда \(OC = \sqrt{x^2 + 112}\).

Подставляем \(OB = x\) в первое уравнение: \(AO^2 = 144 — x^2\). Подставляем \(OC = \sqrt{x^2 + 112}\) во второе уравнение: \(AO^2 + x^2 + 112 = 256\). Получаем \(AO^2 + x^2 = 144\).

Находим длину \(BC\): \(BC = \sqrt{12^2 + 16^2} = 20\) см. Площадь треугольника \(ABC\): \(\frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96\). Высота \(h\) из точки \(A\) на сторону \(BC\): \(h = \frac{192}{20} = 9.6\) см. Ответ: \(9.6\) см.

Хорды \(AB\) и \(AC\) перпендикулярны, их длины равны \(AB = 12\) см и \(AC = 16\) см. Точка пересечения хорд обозначена как \(O\). Для нахождения расстояния от точки \(A\) до прямой \(BC\) воспользуемся свойствами прямоугольных треугольников и теоремой Пифагора. В треугольнике \(AOB\) выполняется равенство \(AO^2 + OB^2 = AB^2\), что приводит к уравнению \(AO^2 + OB^2 = 144\). Аналогично, в треугольнике \(AOC\) имеем \(AO^2 + OC^2 = AC^2\), что дает \(AO^2 + OC^2 = 256\). Вычитая первое уравнение из второго, получаем \(OC^2 — OB^2 = 112\). Пусть \(OB = x\), тогда \(OC = \sqrt{x^2 + 112}\). Подставляя \(OB = x\) в первое уравнение, получаем \(AO^2 = 144 — x^2\). Подставляя \(OC = \sqrt{x^2 + 112}\) во второе уравнение, получаем \(AO^2 + x^2 + 112 = 256\), что упрощается до \(AO^2 + x^2 = 144\). Это подтверждает правильность наших вычислений.

Теперь найдем длину стороны \(BC\). Поскольку хорды \(AB\) и \(AC\) перпендикулярны, треугольник \(ABC\) прямоугольный, и длина \(BC\) может быть найдена по теореме Пифагора: \(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\) см. Площадь треугольника \(ABC\) вычисляется как \(\frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96\). Эта площадь также может быть выражена через высоту \(h\), опущенную из точки \(A\) на сторону \(BC\): \(\frac{1}{2} \times BC \times h = 96\). Подставляя \(BC = 20\), получаем \(h = \frac{192}{20} = 9.6\) см.

Таким образом, расстояние от точки \(A\) до прямой \(BC\) равно \(9.6\) см. Этот результат получен путем последовательного применения теоремы Пифагора и свойств прямоугольных треугольников, а также использования формулы площади треугольника для нахождения высоты. Все шаги логически связаны и подтверждают правильность вычислений.