ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.36 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Большая диагональ правильной шестиугольной призмы равна \(\frac{8}{3}\) см и образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь полной поверхности призмы.

1. В треугольнике \(ABD\): \(AD = AB\), \(\cos \angle BAD = 8\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 4\sqrt{3}\) (см).

Следовательно, \(AB = \frac{1}{2}AD = 4\sqrt{3}\) (см).

2. \(DD_1 = CD_1\), \(\sin \alpha = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\) (см).

3. \(S_{осн. n.} = 6 \cdot CD \cdot DD_1 = 4\sqrt{3} \cdot 12 = 48\sqrt{3}\) (см\(^2\)).

4. \(S_{осн.} = 6 \cdot AB \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \frac{12}{4} = 72\sqrt{3}\) (см\(^2\)).

5. \(S_{n.n.} = 48\sqrt{3} + 72\sqrt{3} = 120\sqrt{3}\) (см\(^2\)).

В задаче рассматривается правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и вычисляются его стороны и площади. Для начала находим сторону шестиугольника. Пусть длина стороны \(AD\) равна \(8\sqrt{3}\). По свойству правильного шестиугольника, все стороны равны, а угол между ними составляет \(120^\circ\). Используем косинус угла, чтобы найти проекцию стороны: \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), тогда \(AB = AD \cdot \frac{1}{2} = 8\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 4\sqrt{3}\) см. Таким образом, сторона шестиугольника равна \(4\sqrt{3}\) см.

Далее находим высоту призмы. По рисунку видно, что высота определяется через синус угла между боковыми рёбрами: \(DD_1 = CD_1\), \(\sin \alpha = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Тогда высота призмы будет равна \(8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\) см. Это значение используется для вычисления площади боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности вычисляется как произведение периметра основания на высоту призмы. Периметр основания равен \(6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\) см, а высота — \(12\) см. Тогда площадь боковой поверхности: \(S_{осн. n.} = 6 \cdot CD \cdot DD_1 = 4\sqrt{3} \cdot 12 = 48\sqrt{3}\) см\(^2\). Площадь основания: \(S_{осн.} = 6 \cdot AB \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \frac{12}{4} = 72\sqrt{3}\) см\(^2\). Суммарная площадь поверхности призмы: \(S_{n.n.} = 48\sqrt{3} + 72\sqrt{3} = 120\sqrt{3}\) см\(^2\).