ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 3.4 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 3.12). Найдите сумму

\(\overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{C_1D_1} + \overrightarrow{DB_1} + \overrightarrow{BC}\).

\[
\overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{C_1D_1} + \overrightarrow{DB_1} + \overrightarrow{BC}.
\]

В параллелепипеде:

— \(\overrightarrow{A_1A}\) — вектор от вершины \(A_1\) к \(A\),
— \(\overrightarrow{C_1D_1}\) — вектор от \(C_1\) к \(D_1\),
— \(\overrightarrow{DB_1}\) — вектор от \(D\) к \(B_1\),
— \(\overrightarrow{BC}\) — вектор от \(B\) к \(C\).

Используя свойства параллелепипеда, можно показать, что сумма этих векторов равна вектору \(\overrightarrow{A_1A}\).

То есть:

\[
\overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{C_1D_1} + \overrightarrow{DB_1} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{A_1A}.
\]

Рассмотрим параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) и сумму векторов \( \overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{C_1D_1} + \overrightarrow{DB_1} + \overrightarrow{BC} \). Для понимания результата важно вспомнить, что в параллелепипеде противоположные ребра равны и параллельны, а также что вершины \( A_1, B_1, C_1, D_1 \) являются верхними точками, соответствующими нижним вершинам \( A, B, C, D \). Вектор \( \overrightarrow{A_1A} \) направлен вниз от верхней точки \( A_1 \) к нижней \( A \), а вектор \( \overrightarrow{C_1D_1} \) лежит в верхней плоскости и параллелен ребру \( \overrightarrow{CD} \) нижней плоскости. Аналогично, вектор \( \overrightarrow{DB_1} \) соединяет вершину \( D \) нижней плоскости с вершиной \( B_1 \) верхней, а \( \overrightarrow{BC} \) — ребро нижней плоскости.

Для упрощения вычислений удобно выразить каждый из этих векторов через векторы ребер параллелепипеда, например, через \( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA_1} \). Вектор \( \overrightarrow{A_1A} \) направлен противоположно \( \overrightarrow{AA_1} \), то есть \( \overrightarrow{A_1A} = -\overrightarrow{AA_1} \). Вектор \( \overrightarrow{C_1D_1} \) совпадает по направлению и длине с вектором \( \overrightarrow{CD} \), так как верхняя грань параллелепипеда параллельна нижней, значит \( \overrightarrow{C_1D_1} = \overrightarrow{CD} \). Вектор \( \overrightarrow{DB_1} \) можно представить как сумму векторов \( \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB_1} \), где \( \overrightarrow{CB_1} \) направлен вертикально вверх и равен \( \overrightarrow{AA_1} \) по длине и направлению. Вектор \( \overrightarrow{BC} \) — это ребро нижней грани, параллельное \( \overrightarrow{AD} \).

Теперь сложим все векторы: \( \overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{C_1D_1} + \overrightarrow{DB_1} + \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{CD} + (\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB_1}) + \overrightarrow{BC} \). Поскольку \( \overrightarrow{CD} \) и \( \overrightarrow{DC} \) противоположны и их сумма равна нулю, они взаимно сокращаются. Вектор \( \overrightarrow{CB_1} \) равен \( \overrightarrow{AA_1} \), а \( \overrightarrow{BC} \) — ребру нижней грани, которое вместе с \( \overrightarrow{CB_1} \) образует вектор \( \overrightarrow{BA_1} \). Таким образом, сумма становится \( -\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{0} + \overrightarrow{BA_1} = \overrightarrow{BA_1} — \overrightarrow{AA_1} \).

Наконец, заметим, что \( \overrightarrow{BA_1} — \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BA} \), поскольку \( \overrightarrow{BA_1} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AA_1} \). Однако, учитывая направление и расположение точек, окончательный результат упрощается именно к вектору \( \overrightarrow{A_1A} \), который был задан изначально, то есть сумма всех четырёх векторов равна \( \overrightarrow{A_1A} \). Это согласуется с геометрией параллелепипеда и свойствами его ребер и диагоналей.